高度为p的二叉最小堆删除最小值时的比较次数差值求解

要解决这个问题，我们先明确二叉最小堆删除最小值的核心流程：

1. 移除堆顶（最小值），将堆的最后一个节点移到堆顶位置。
2. 对新堆顶执行**向下堆化（sift-down）**操作，直到堆重新满足父节点≤子节点的性质。

定义说明 #

统一二叉堆的高度定义：高度p是从根节点到最远叶子节点的路径上的边数（即根节点高度为0，叶子节点高度为p）。

最多比较次数v #

当堆是满二叉树（所有层节点填满），且移到堆顶的节点是堆中最大值时，需要一直向下交换到叶子节点。每一层堆化需要两次比较：

• 第一次：比较当前节点的两个子节点，找到值较小的那个。
• 第二次：比较当前节点与这个较小子节点，确认需要交换。

从根到叶子需经过p条边（p层移动），因此最多比较次数为：
v = 2p

最少比较次数u #

当移到堆顶的节点无需向下交换时，比较次数最少。这种情况出现在堆顶节点的值≤所有子节点的值，此时每一层仅需一次比较（无需交换）：

• 若堆是最少节点数的完全二叉树（最后一层仅一个节点），每一层节点只有左子节点，每一步仅需比较当前节点与左子节点，确认无需交换后停止。

此时最少比较次数为：
u = p

计算v-u的值 #

将v和u代入公式：
v - u = 2p - p = p

特殊情况验证 #

• 当p=0（仅根节点）：删除最小值无需比较，v=0，u=0，v-u=0，符合结论。
• 当p=1（根+一层叶子）：最多比较2次，最少1次，v-u=1=p，符合结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者glam videos opera