两比特系统中基于投影测量的CHSH不等式最大违背量计算及测量设置求解

1. CHSH不等式的基本形式 #

对于两体系统，Alice选择两个测量算子$A, A'$，Bob选择两个测量算子$B, B'$，所有测量结果均为$\pm1$。经典关联满足：

$| \langle AB \rangle + \langle AB' \rangle + \langle A'B \rangle - \langle A'B' \rangle | \leq 2$
量子系统可以突破这个限制，最大违背量由Tsirelson界给出，为$2\sqrt{2} \approx 2.828$。

2. 针对Bell态$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$的计算 #

该态是最大纠缠态，通过选择合适的测量算子可达到Tsirelson界。

具体测量设置 #

• Alice的测量算子：
  • $A = \sigma_z$（泡利Z算子）
  • $A' = \sigma_x$（泡利X算子）
• Bob的测量算子：
  • $B = \frac{\sigma_x + \sigma_z}{\sqrt{2}}$
  • $B' = \frac{\sigma_x - \sigma_z}{\sqrt{2}}$

验证违背量 #

计算各项期望值：

• $\langle AB \rangle = \langle \Phi^+ | A \otimes B | \Phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\langle AB' \rangle = \langle \Phi^+ | A \otimes B' | \Phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\langle A'B \rangle = \langle \Phi^+ | A' \otimes B | \Phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\langle A'B' \rangle = \langle \Phi^+ | A' \otimes B' | \Phi^+ \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

代入CHSH表达式：
$| \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) | = | \frac{4}{\sqrt{2}} | = 2\sqrt{2}$，正好达到最大违背量。

3. 新手理解提示 #

• 泡利算子$\sigma_x, \sigma_z$的本征值都是$\pm1$，符合测量结果为$\pm1$的要求；
• Bob的测量算子是泡利X和Z的归一化线性组合，属于厄米算子（满足测量算子的数学要求），本征值同样为$\pm1$；
• 最大纠缠态的关联特性突破了经典关联的限制，这就是量子非局域性的直接体现。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ustcfy