如何用FFT数值计算矩形函数的傅里叶变换？结果匹配问题求解

我希望对傅里叶变换进行数值计算，选择矩形函数作为示例，其定义如下：

function step(x)
    if abs(x) < a
        return 1
    else 
        return 0
    end
end

根据Lothar Papula的教材[1]，该函数的傅里叶变换为：

function stepff(p)
    return 2*sin(a*p)/p
end

我想直接使用fft算法完成这一计算。

已尝试的操作 #

使用Julia进行计算并绘图：

x = -5:dx:5
p = fftfreq(length(x),2pi/dx)
scatter(p, real.(fft(step.(x))))
scatter!(p, imag.(fft(step.(x))))

计算结果的实部和虚部与预期完全不符，但绝对值仅存在一个常数偏差（见附图）。

已知的公式关联疑问 #

离散傅里叶变换公式：
$$
X_k=\sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-\frac{i 2 \pi}{N} k n}
$$

连续傅里叶变换公式：
$$
\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i 2 \pi \xi x} d x
$$

我仅知道可用黎曼和近似积分：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) , dx \approx \frac{1}{N}\sum_{N}f(x[N])
$$
但不确定离散与连续傅里叶变换的具体关联，查阅相关帖子后未得到有效解答。

[1] 注：不同教材的傅里叶变换惯例可能存在$2\pi$因子或$1/\sqrt{2\pi}$的归一化差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheFibonacciEffect