为何两段R代码计算21点天然牌概率结果存在差异？

我用R语言模拟牌组研究概率时发现：当牌组用数字字符串（如"10"、"8"）构建时，计算21点天然牌的概率，和用纯字符字符串（如"Ten"、"Eight"）构建的结果不一样。

加载library(gtools)后，第一段代码如下：

suits <- c("D", "C", "H", "S")
numbers <- c("2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", "9", "10", 
             "J", "Q", "K", "A")
deck <- expand.grid(number = numbers, suit = suits)
deck <- paste(deck$number, deck$suit)
aces <- paste("A", suits)

facecard <- c("K", "Q", "J", "10")
facecard <- expand.grid(number=facecard, suit=suits)
facecard <- paste(facecard$number, facecard$suit)

hands <- combinations(52, 2, v = deck)

mean(hands[,1] %in% aces & hands[,2] %in% facecard)

运行结果：

> mean(hands[,1] %in% aces & hands[,2] %in% facecard)
[1] 0.0361991

换成纯字符字符串定义numbers后，代码如下：

suits <- c("D", "C", "H", "S")
numbers <- c("Two", "Three", "Four", "Five", "Six", "Seven", "Eight", "Nine", 
             "Ten", "J", "Q", "K", "A")
deck <- expand.grid(number = numbers, suit = suits)
deck <- paste(deck$number, deck$suit)

aces <- paste("A", suits)

facecard <- c("K", "Q", "J", "Ten")
facecard <- expand.grid(number=facecard, suit=suits)
facecard <- paste(facecard$number, facecard$suit)

hands <- combinations(52, 2, v = deck)

mean(hands[,1] %in% aces & hands[,2] %in% facecard)

运行结果：

> mean(hands[,1] %in% aces & hands[,2] %in% facecard)
[1] 0.04826546

问题 #

为什么只是把numbers向量换成纯字符字符串，概率计算结果就出现差异？是因为"A"和其他数字的组合导致花牌计数减少吗？

解答 #

差异完全源于combinations()函数的排序特性：

gtools包中的combinations()函数生成组合前，会先对输入的向量v按字符串顺序排序，再生成有序的组合对——每个无序牌组只会出现一次，且组合内元素按排序后的顺序排列（靠前的元素在第一列，靠后的在第二列）。

两种场景的具体差异：

1. 数字字符串场景：
   字符串排序时，"10"的首字符"1"ASCII码小于"A"的"A"，所以"10 D"这类牌会排在"A D"前面；而"J"、"Q"、"K"的ASCII码大于"A"，会排在"A"后面。
   因此：

   • A和"10"类花牌的组合会以花牌在前、A在后的形式出现（比如("10 D", "A D")），不会被你的hands[,1] %in% aces条件命中；
   • A和J/Q/K类花牌的组合会以A在前、花牌在后的形式出现，会被统计到。
     最终有效统计数是4张A × 12张J/Q/K花牌 = 48，除以总组合数C(52,2)=1326，得到≈0.0361991。

2. 纯字符字符串场景：
   "Ten"的首字符"T"ASCII码大于"A"，所以所有花牌（Ten、J、Q、K）都排在A牌后面。
   所有A和花牌的组合都会以A在前、花牌在后的形式出现，全部被你的条件统计到，有效统计数是4×16=64，除以1326得到≈0.04826546。

补充：正确的天然牌概率计算

21点天然牌包含A+花牌和花牌+A两种无序组合，但combinations()只会生成一次每个无序对。如果要统计完整的天然牌概率，应该同时覆盖两种排列形式的组合：

mean((hands[,1] %in% aces & hands[,2] %in% facecard) | (hands[,1] %in% facecard & hands[,2] %in% aces))

此时两种场景下的结果会一致，均为天然牌的真实概率≈0.04826546。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nick