护士排班MILP模型成本函数构建咨询（含GAMS代码）

核心思路 #

通过引入二进制识别变量将阶梯式成本线性化，适配MILP求解逻辑，精准实现单/双班次的差异化成本核算。

变量定义 #

• x[n,d,s]：二进制变量，1表示护士n在d日排s班次，0则否（n=护士集合，d=日期集合，s=3个班次的集合）
• y[n,d]：二进制变量，1表示护士n在d日排2个班次，0则否
• z[n,d]：二进制变量，1表示护士n在d日排1个班次，0则否

成本函数构建 #

目标为最小化总成本，通过基础成本加优惠项实现阶梯定价：

minimize total_cost = sum(n,d,s) x[n,d,s] * 1 + sum(n,d) y[n,d] * (-0.5);

解释：每个单班次基础成本1€，若护士单日排2班，原本2个单班次合计2€，实际只需1.5€，相当于减免0.5€，通过y[n,d]变量兑现该优惠。

关键约束添加 #

1. 单日排班数量匹配约束：

   sum(s) x[n,d,s] = z[n,d] + 2*y[n,d];
   

   确保护士单日排班数只能是0（z=0,y=0）、1（z=1,y=0）或2（z=0,y=1）

2. 单/双班次互斥约束：

   z[n,d] + y[n,d] <= 1;
   

   避免同一护士单日同时被标记为单班次和双班次

GAMS代码核心片段 #

将上述逻辑整合进现有模型，示例如下：

Sets
    n nurses /n1*n20/
    d days /d1*d30/
    s shifts /s1*s3/;

Variables
    total_cost;

Binary Variables
    x(n,d,s) '护士n在d日排s班'
    y(n,d) '护士n在d日排2班'
    z(n,d) '护士n在d日排1班';

Equations
    obj '目标函数'
    shift_count(n,d) '单日排班数量等式'
    mutual_excl(n,d) '单/双班次互斥';

obj.. total_cost =e= sum((n,d,s), x(n,d,s)*1) + sum((n,d), y(n,d)*(-0.5));

shift_count(n,d).. sum(s, x(n,d,s)) =e= z(n,d) + 2*y(n,d);

mutual_excl(n,d).. z(n,d) + y(n,d) =l= 1;

Model nurse_scheduling /all/;

Solve nurse_scheduling minimizing total_cost using milp;

补充说明 #

• 若业务允许单日排3班，可新增二进制变量w[n,d]标记该情况，成本设为2€（比3个单班次省1€），同步调整排班数量等式和成本项即可
• 现有已实现的约束（如班次人员需求、护士休息规则等）可直接与上述逻辑兼容，无需额外修改

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jonix