为何Numpy的eigh函数返回的特征向量验证结果偏离预期？

问题重现 #

我遇到的问题和某Stack Overflow问题类似，但现有解答不适用。以下是我的代码：

import numpy as np

matrix = np.array([[10,3,1],[3,2,1],[1,1,1]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(matrix)  # 矩阵是对称矩阵，使用eigh
print([np.dot((matrix@eigenvectors[i])/np.linalg.norm(matrix@eigenvectors[i]), eigenvectors[i]/np.linalg.norm(eigenvectors[i])) for i in range(matrix.shape[0])])

理论上输出应接近1（数值误差可忽略），但实际返回：

[0.7721913042777805, 0.5341128829187937, 0.9019035049538643]

偏差明显过大。

用Wolfram Alpha计算得到该矩阵的特征向量：

[[ 0.12586458 -0.32039088 -0.93888646]
 [-0.65562141  0.68341326 -0.32110261]
 [ 0.74452581  0.65596951 -0.1240376 ]]

代入相同验证逻辑后，结果符合预期：

[0.9999999999999705, 0.9999999999834726, 0.9999999999737305]

原因分析 #

核心错误是numpy.linalg.eigh返回的特征向量矩阵中，每一列对应一个特征向量，而代码中用eigenvectors[i]取的是第i行，这根本不是矩阵的特征向量，自然验证结果偏差极大。

修正方案 #

将验证逻辑改为取列向量，修正后的代码如下：

import numpy as np

matrix = np.array([[10,3,1],[3,2,1],[1,1,1]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(matrix)
# 取列向量进行验证
print([np.dot((matrix@eigenvectors[:,i])/np.linalg.norm(matrix@eigenvectors[:,i]), eigenvectors[:,i]/np.linalg.norm(eigenvectors[:,i])) for i in range(matrix.shape[0])])

运行后输出接近1，符合预期：

[0.9999999999999996, 0.9999999999999998, 1.0]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者account google