关于《统计学习基础》中二元高斯分布相关问题的技术问询

Q1：从二元高斯分布生成10个均值意味着什么？如何生成均值？相关数学公式是什么？ #

• 这里的“生成10个均值”，指的是从二元高斯分布中随机采样10个二维数据点，每个点会作为后续对应类别观测值的小组中心（$m_k$）。简单说就是先给BLUE类的10个小组各抽一个“基准点”，ORANGE类同理。
• 生成方式：对于二元高斯分布 $N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$，可通过以下步骤生成样本：
  1. 从标准二元正态分布 $N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$ 生成二维随机向量 $\boldsymbol{z} = (z_1, z_2)^T$，其中 $z_1, z_2$ 独立服从一维标准正态分布 $N(0,1)$；
  2. 对 $\boldsymbol{z}$ 做线性变换：$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{L}\boldsymbol{z}$，其中 $\boldsymbol{L}$ 是协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的Cholesky分解（满足 $\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{L}^T$）。
• 对应书中场景，协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{I}$（单位矩阵），Cholesky分解结果 $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{I}$，生成公式简化为：$\boldsymbol{m}_k = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{z}_k$，其中 $\boldsymbol{\mu}$ 是给定的均值向量（比如BLUE类的$(1,0)$），$\boldsymbol{z}_k$ 是从 $N(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$ 采样的第k个二维向量。

Q2：$N((1,0),I)$ 与 $N((0,1),I)$ 的区别是什么？前者是否表示均值为1、方差为0，后者则相反？ #

• 你的理解有误，这里是二元（二维）高斯分布，参数含义如下：
  • $N((1,0), \boldsymbol{I})$：均值是二维向量 $\boldsymbol{\mu}_1 = (1, 0)^T$，协方差矩阵是单位矩阵 $\boldsymbol{I} = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}$。即该分布的两个维度相互独立，第一个维度均值为1、方差为1，第二个维度均值为0、方差为1。
  • $N((0,1), \boldsymbol{I})$：均值是二维向量 $\boldsymbol{\mu}_2 = (0, 1)^T$，协方差矩阵同样是单位矩阵 $\boldsymbol{I}$。即第一个维度均值为0、方差为1，第二个维度均值为1、方差为1。
• 两者核心区别是均值向量不同，协方差结构完全一致。

是否需要先学习聚类才能理解这段内容？ #

• 不需要。这段内容属于监督学习范畴：BLUE和ORANGE是预先标记好的类别，后续生成观测值也是基于已知类别进行的，本质是在构造带标签的数据集，用于讲解分类类的监督学习方法。你可以先专注当前的监督学习内容，聚类等无监督知识可后续再学习。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Meetali