向量a沿u的分量与向量u垂直于a的分量是否相等？

先明确向量投影的核心公式：

• 把向量 u 投影到向量 a 上，得到的投影向量是：projₐu = (u·a / |a|²) * a
• 反过来把向量 a 投影到向量 u 上，结果是：projᵤa = (a·u / |u|²) * u

这两个结果绝大多数情况下都不一样，原因很直接：

• 方向不同：projₐu 沿着 a 的方向，projᵤa 沿着 u 的方向，除非 u 和 a 完全共线，否则方向肯定有差异。
• 长度不同：前者的长度是 |u·a| / |a|，后者是 |a·u| / |u|，只有当 u 和 a 的模长相等时，长度才可能一致，但方向仍可能不同（比如反向共线）。

举两个实际例子：

• 特殊情况：u=(2,0)，a=(0,1)，两者垂直，此时两个投影都是零向量，结果相同，但这是个例，不具备普遍性。
• 一般情况：u=(3,0)，a=(1,1)
  • projₐu = (3×1 + 0×1)/(1²+1²) × (1,1) = 1.5×(1,1) = (1.5,1.5)
  • projᵤa = (1×3 +1×0)/(3²+0²) × (3,0) = (1/3)×(3,0) = (1,0)
    明显两个投影向量完全不同。

所以你的猜想并不严谨，只有当 u 和 a 共线时，反向投影的结果才会是原投影的缩放版本，其他场景下结果都有差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者921 T