一阶逻辑断言反例的结构形式化定义技术求助

基于给定的反例赋值，结构 ( S = \langle D, \mathcal{F}, \mathcal{R}, \mathcal{C} \rangle ) 的各部分定义如下：

• 论域 ( D )：由于反例仅涉及常量 ( a )，论域直接取包含该常量对应个体的集合：D = {a}
• 函数集合 ( \mathcal{F} )：原断言中未包含任何函数符号，因此函数集合为空：\mathcal{F} = \emptyset
• 关系集合 ( \mathcal{R} )：根据反例赋值，各一元关系的外延定义为：
  • ( E^S = {a} )（对应 ( E(a) = \text{true} )）
  • ( F^S = \emptyset )（对应 ( F(a) = \text{false} )）
  • ( G^S = {a} )（对应 ( G(a) = \text{true} )）
• 常量集合 ( \mathcal{C} )：给定常量的解释为论域中的对应个体：\mathcal{C} = \{a\}，且 ( a^S = a )

反例有效性验证 #

将该结构代入原断言：

1. ( \forall x(E(x) \leftrightarrow \neg F(x)) )：对论域中唯一个体 ( a )，( E(a)=\text{true} ) 且 ( \neg F(a)=\text{true} )，断言成立；
2. ( \forall x(E(x) \rightarrow G(x)) )：( E(a)=\text{true} ) 且 ( G(a)=\text{true} )，蕴含式成立；
3. ( \exists x(F(x) \land \neg G(x)) )：论域中无个体满足 ( F(x)=\text{true} ) 且 ( G(x)=\text{false} )，该断言不成立。

因此该结构确实是原蕴涵关系的反例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user20677792