在R中对距离矩阵做中心对数比变换后为何不对称？

问题根源 #

1. CLR变换的行计算特性：compositions::clr()默认按行执行变换，每行的几何均值是该行所有元素的平均对数的指数。即使原矩阵中dm[i,j] = dm[j,i]，但这两个值分别属于第i行和第j行，计算时使用的几何均值不同，最终变换结果自然不同，破坏了矩阵对称性。
2. 距离矩阵的0值问题：距离矩阵的对角线为0，而CLR变换要求所有输入值必须为正数（因为涉及对数运算），0值的存在本身就不符合CLR的应用前提。

解决方法 #

我们需要同时处理0值，并保证变换时对称位置的元素使用相同的参考基准，从而维持矩阵对称性。以下是两种可行方案：

方案1：基于全局几何均值的CLR变换 #

对整个矩阵的非对角线元素计算全局几何均值，以此为基准进行CLR变换，确保所有对称位置的元素使用同一参考值：

library(compositions)

# 加载你的距离矩阵
dm <- structure(list(X1 = c(0, 0.2177609998, 0.2133361674, 0.1549136105, 
0.1400395799), X11 = c(0.2177609998, 0, 0.07805820645, 0.1418994689, 
0.1934668819), X12 = c(0.2133361674, 0.07805820645, 0, 0.1475390242, 
0.1857477705), X13 = c(0.1549136105, 0.1418994689, 0.1475390242, 
0, 0.1046740994), X14 = c(0.1400395799, 0.1934668819, 0.1857477705, 
0.1046740994, 0)), row.names = c("X1", "X11", "X12", "X13", "X14"
), class = "data.frame")
dm_matrix <- as.matrix(dm)

# 1. 处理0值：添加极小偏移量避免对数错误
dm_nonzero <- dm_matrix + 1e-8

# 2. 计算全局几何均值（仅使用非对角线元素）
global_gmean <- exp(mean(log(dm_nonzero[upper.tri(dm_nonzero)])))

# 3. 执行全局CLR变换
dm_clr_global <- log(dm_nonzero / global_gmean)

# 验证对称性
isSymmetric(dm_clr_global)

方案2：利用矩阵对称性，仅处理三角区域 #

由于原矩阵是对称的，我们可以只提取上三角（或下三角）的非对角线元素进行CLR变换，再将结果复制到对称位置，确保矩阵对称：

library(compositions)

# 加载并转换矩阵
dm <- structure(list(X1 = c(0, 0.2177609998, 0.2133361674, 0.1549136105, 
0.1400395799), X11 = c(0.2177609998, 0, 0.07805820645, 0.1418994689, 
0.1934668819), X12 = c(0.2133361674, 0.07805820645, 0, 0.1475390242, 
0.1857477705), X13 = c(0.1549136105, 0.1418994689, 0.1475390242, 
0, 0.1046740994), X14 = c(0.1400395799, 0.1934668819, 0.1857477705, 
0.1046740994, 0)), row.names = c("X1", "X11", "X12", "X13", "X14"
), class = "data.frame")
dm_matrix <- as.matrix(dm)

# 1. 处理0值
dm_nonzero <- dm_matrix + 1e-8

# 2. 提取上三角非对角线元素并做CLR变换
upper_vals <- dm_nonzero[upper.tri(dm_nonzero)]
upper_clr <- clr(upper_vals)

# 3. 构建对称变换矩阵
dm_clr_sym <- matrix(0, nrow = nrow(dm_matrix), ncol = ncol(dm_matrix))
dm_clr_sym[upper.tri(dm_clr_sym)] <- upper_clr
# 复制上三角结果到下三角，保证对称
dm_clr_sym[lower.tri(dm_clr_sym)] <- t(dm_clr_sym)[lower.tri(dm_clr_sym)]

# 验证对称性
isSymmetric(dm_clr_sym)

关键说明 #

• 不要直接对距离矩阵按行执行CLR变换，这会破坏矩阵的对称性。
• 必须先处理距离矩阵中的0值，否则会导致对数运算错误或变换结果异常。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者shannonevelyne