范畴论中初始对象与终端对象的“唯一性”指什么？

先直接给结论：书中这句话里的“唯一”，指的是初始对象和终端对象各自在同构意义下唯一，和范畴本身无关，你的判断方向是对的。

具体拆解解释： #

• 原句“并非所有范畴都有初始对象和终端对象，但如果有的话，它们是唯一的”里，“它们”明确指代前面的“初始对象和终端对象”，完全不涉及范畴的唯一性。你认为“范畴不可能唯一”的逻辑是对的——范畴可以包含任意数量的对象和态射，不存在“唯一范畴”的说法。
• 范畴论里的“唯一”是同构等价下的唯一，不是指绝对的完全相同：
  • 初始对象的定义是：对范畴内任意对象X，存在且仅存在一个从初始对象到X的态射。如果有两个对象I₁和I₂都满足这个条件，那么I₁和I₂之间必然存在唯一的同构态射，也就是说它们在范畴论的视角下本质是等价的，所以称其“唯一”。
  • 终端对象的唯一性逻辑完全一致：对范畴内任意对象X，存在且仅存在一个从X到终端对象的态射，满足条件的终端对象之间也必然同构。
• 结合书中的逻辑学例子：在对应逻辑的范畴里，False作为初始对象、True作为终端对象，各自都只有“本质上唯一”的那个，不会存在多个不同构的False或True。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user21539529