mgcv包中广义可加模型的调整R²计算公式是什么？

mgcv包中针对高斯分布的广义可加模型（GAM，即你示例中连续因变量、误差服从正态分布的情况），其调整R²的计算是在经典调整R²的基础上，用模型的有效自由度做修正，具体规则如下：

计算步骤与公式 #

1. 先计算普通R²：
   ( R^2 = 1 - \frac{SS_{残差}}{SS_{总}} )
   其中：

• ( SS_{残差} ) 是模型的残差偏差（高斯模型下等价于残差平方和，对应deviance(m)的结果）
• ( SS_{总} ) 是仅含截距的零模型偏差（等价于因变量围绕均值的总平方和，对应m$null.deviance的结果）

2. 基于普通R²推导调整R²：

• 若模型包含截距（默认设置）：
  ( R^2_{adj} = 1 - (1 - R^2) \times \frac{n-1}{n - df_{有效}} )
• 若模型不含截距：
  ( R^2_{adj} = 1 - (1 - R^2) \times \frac{n-1}{n - df_{有效} - 1} )

参数说明：

• ( n )：样本量（对应m$n）
• ( df_{有效} )：模型的有效自由度，即所有平滑项的edf之和加上截距的自由度1（对应gam模型对象的m$edf值，也是summary输出中各项edf的总和）

对应mgcv的实现代码 #

你可以通过查看summary.gam的源码确认上述逻辑，核心计算片段如下：

if (family$family == "gaussian") {
    r2 <- 1 - deviance(m)/m$null.deviance
    n <- m$n
    p <- m$edf
    adj.r2 <- 1 - (1 - r2) * (n - 1)/(n - p - if (m$intercept) 0 else 1)
    attr(r2, "label") <- "R-sq.(adj)"
}

结合你的示例说明 #

以你提供的代码为例：

• 样本量( n = 100 )
• 模型的有效自由度是s(x)和s(x2)两个平滑项的edf之和，再加上截距的1（比如summary输出中两个平滑项的edf分别为3.8和3.7，总有效自由度就是7.5）
• 将这些值代入公式，就能得到summary输出中的调整R²结果

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ly T