MATLAB中lsim()函数无法正常使用，奇异E矩阵模型初始条件仿真报错

问题场景 #

尝试用MATLAB代码复现Simulink中的PID+状态空间闭环系统响应，运行代码后出现如下报错：

Cannot simulate response with initial condition for models with singular E matrix. Use the "isproper" command to check if the model is proper and to extract an equivalent explicit representation.

原代码：

M = 1.5;
m = 0.5;
l = 10;
g = 9.8;

%% state space
A = [0 1 0 0; 0 0 m*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 g/(M*l)*(M+m) 0];
B = [0; 1/M; 0; 1/(M*l)];
C = [0 0 1 0];
D = 0;
sys_ss = ss(A, B, C, D);

% pid
Kp = 99;
Ki = 49;
Kd = 29;
Gc = pid(Kp, Ki, Kd);

% feedback closed-up system
sys_fb = feedback(Gc*sys_ss, 1);

% simulation time and pid reference input value '0'
t = 0:0.01:10;
r = zeros(size(t));

% x0 = [2; 10; -5; 0]
[y, t] = lsim(sys_fb, r, t, [2; 10; -5; 0]);

% plot
figure();
plot(t, y);
title('PID Controller + State Space Model Closed-Loop System Output');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Output');

报错原因 #

PID控制器包含微分和积分环节，其传递函数为非严格正则形式，与状态空间模型串联后闭环，生成的系统是隐式描述系统（descriptor system），存在奇异的E矩阵，lsim无法直接为这类系统设置初始条件进行仿真。

解决方法 #

方法一：转换为正则显式系统 #

使用isproper函数提取闭环系统的等效正则显式模型，再进行仿真：

% 在生成sys_fb后添加以下代码
[~, sys_fb_proper] = isproper(sys_fb);

% 使用正则模型仿真，注意：初始条件会被自动转换，若需精确对应原状态初始条件，建议用方法二
[y, t] = lsim(sys_fb_proper, r, t);

方法二：手动构建包含PID状态的闭环状态空间模型 #

手动整合原状态空间与PID的状态（积分环节状态），构建显式闭环状态空间，直接指定完整初始条件：

M = 1.5;
m = 0.5;
l = 10;
g = 9.8;

%% 原状态空间参数
A = [0 1 0 0; 0 0 m*g/M 0; 0 0 0 1; 0 0 g/(M*l)*(M+m) 0];
B = [0; 1/M; 0; 1/(M*l)];
C = [0 0 1 0];
D = 0;

% PID参数
Kp = 99;
Ki = 49;
Kd = 29;

% 计算闭环系统矩阵
denominator = 1 + Kd*C*B;
A11 = A - B*(Kp*C + Kd*C*A)/denominator;
A12 = B*Ki/denominator;
A21 = -C;
A22 = 0;
A_cl = [A11, A12; A21, A22];

% 输出矩阵：y = C*x，x是原状态空间的状态
C_cl = [C, zeros(1,1)];

% 构建显式闭环状态空间模型
sys_cl = ss(A_cl, [], C_cl, 0);

% 仿真设置
t = 0:0.01:10;
r = zeros(size(t));
% 初始条件：原状态初始值 + PID积分环节初始值（设为0）
X0 = [2; 10; -5; 0; 0];

% 仿真
[y, t] = lsim(sys_cl, r, t, X0);

% 绘图
figure();
plot(t, y);
title('PID Controller + State Space Model Closed-Loop System Output');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Output');

该方法直接构建显式状态空间，能精确控制所有状态的初始条件，避免隐式系统的问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者魏嘉伟