如何生成符合自定义周期与振幅的压缩余弦分布随机数

问题分析 #

你需要生成0-1区间内的随机数，其概率分布符合指定周期数的余弦曲线，且峰值概率是低谷的factor倍。之前的代码错误地使用了线性缩放均匀随机数的方式，无法正确匹配目标分布，导致结果不符合预期。

核心思路：逆变换采样 #

要生成符合自定义概率密度函数（PDF）的随机数，正确的方法是逆变换采样：

1. 构造目标PDF：在0-1区间内有intervals个峰值，峰值/低谷概率比为factor
2. 计算累积分布函数（CDF）
3. 通过数值方法求解CDF的逆函数，将均匀随机数转换为目标分布的随机数

正确实现代码 #

def randcos(factor:, intervals:)
  return rand if factor == 1 # 因子为1时退化为均匀分布

  # 预计算常数
  c = (factor - 1.0) / ((factor + 1.0) * 2 * intervals * Math::PI)
  two_pi_intervals = 2 * intervals * Math::PI

  # 生成均匀随机数u∈[0,1]
  u = rand

  # 牛顿迭代法求解CDF(y) = u
  # 初始猜测值设为u（接近均匀分布的解）
  y = u
  10.times do # 迭代10次足够收敛
    # CDF(y) = y + c*sin(two_pi_intervals*y)
    cdf = y + c * Math.sin(two_pi_intervals * y)
    # CDF的导数（即PDF）= 1 + c*two_pi_intervals*cos(two_pi_intervals*y)
    pdf = 1 + c * two_pi_intervals * Math.cos(two_pi_intervals * y)
    # 牛顿迭代更新：y = y - (CDF(y)-u)/PDF(y)
    y -= (cdf - u) / pdf
    # 确保y在0-1范围内
    y = [[y, 0.0].max, 1.0].min
  end

  y
end

代码解释 #

1. 常数预计算：根据目标分布的参数（factor和intervals）计算CDF中的常数项，避免重复计算
2. 均匀随机数生成：生成基础的均匀分布随机数u
3. 牛顿迭代求解：通过迭代求解CDF的逆函数，得到符合目标分布的随机数y，迭代10次足以保证精度
4. 边界处理：确保最终结果落在0-1区间内

测试验证 #

用你提供的示例代码测试：

# 生成10000个样本并分组
samples = 10_000.times.map do
  num = randcos(factor: 5, intervals: 3)
  (num * 13).floor # 分为12组
end

# 统计每组频率
frequency = samples.tally.sort.to_h
puts frequency

运行后，你会看到分组后的频率呈现3个明显的峰值，低谷频率约为峰值的1/5，符合预期。

为什么之前的代码失败？ #

你之前的代码错误地将均匀采样的x代入余弦函数后，再用另一个均匀随机数相乘，这种方式无法正确模拟目标概率分布。逆变换采样是生成自定义分布随机数的标准方法，能严格匹配你需要的余弦曲线分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rockster160