基于Lua的3D三角形矩形棱柱近似的数学实现问题咨询

核心几何逻辑（针对你提到的短边中点方案） #

假设3D三角形的三个顶点为A(x₁,y₁,z₁)、B(x₂,y₂,z₂)、C(x₃,y₃,z₃)，按以下步骤推导最长边上的对应点：

1. 确定最长边：计算三边长度，把最长边设为AB，剩余顶点为C（若最长边不是AB，调整顶点顺序即可）。
2. 取短边中点：计算两条短边AC、BC的中点N、M：
   • N = ((A.x+C.x)/2, (A.y+C.y)/2, (A.z+C.z)/2)
   • M = ((B.x+C.x)/2, (B.y+C.y)/2, (B.z+C.z)/2)
3. 构建局部坐标系转2D计算：
   • 以A为原点，AB方向为u轴，三角形平面内垂直于AB的方向为v轴，将3D顶点转换为2D局部坐标。
   • 在2D坐标系中，A为(0,0)，B为(AB长度, 0)，C为(c_u, c_v)（c_u是AC在u轴的投影长度，c_v是垂直投影长度）。
4. 计算长边AB上的对应点：
   • 矩形在AB上的两个顶点P、Q的2D坐标为(c_u/2, 0)和(c_u/2 + AB长度/2, 0)，再转回3D坐标：
     • P = A + (c_u/2) * 单位化AB向量
     • Q = A + (c_u/2 + AB长度/2) * 单位化AB向量
5. 生成长方体：将矩形M-N-Q-P沿三角形平面的法向量方向拉伸指定厚度，即可得到对应的rectangular prism。

Lua代码实现片段 #

-- 基础向量运算工具
local function vec_sub(a, b)
    return {x = a.x - b.x, y = a.y - b.y, z = a.z - b.z}
end

local function vec_add(a, b)
    return {x = a.x + b.x, y = a.y + b.y, z = a.z + b.z}
end

local function vec_mul_scalar(v, s)
    return {x = v.x * s, y = v.y * s, z = v.z * s}
end

local function vec_dot(a, b)
    return a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z
end

local function vec_len(v)
    return math.sqrt(v.x^2 + v.y^2 + v.z^2)
end

local function vec_normalize(v)
    local len = vec_len(v)
    return {x = v.x/len, y = v.y/len, z = v.z/len}
end

local function vec_cross(a, b)
    return {
        x = a.y*b.z - a.z*b.y,
        y = a.z*b.x - a.x*b.z,
        z = a.x*b.y - a.y*b.x
    }
end

-- 计算三角形内的矩形顶点及平面法向量
local function get_rect_in_triangle(A, B, C)
    -- 计算三边长度，确定最长边并调整顶点顺序
    local AB = vec_sub(B, A)
    local BC = vec_sub(C, B)
    local CA = vec_sub(A, C)
    local len_AB = vec_len(AB)
    local len_BC = vec_len(BC)
    local len_CA = vec_len(CA)

    local longest_len = math.max(len_AB, len_BC, len_CA)
    if longest_len == len_BC then
        A, B, C = B, C, A
    elseif longest_len == len_CA then
        A, B, C = C, A, B
    end

    -- 重新计算向量
    AB = vec_sub(B, A)
    local AC = vec_sub(C, A)
    len_AB = vec_len(AB)

    -- 构建局部坐标系
    local u_vec = vec_normalize(AB)
    local ac_dot_u = vec_dot(AC, u_vec)
    local AC_perp = vec_sub(AC, vec_mul_scalar(u_vec, ac_dot_u))
    local v_vec = vec_normalize(AC_perp)

    -- 计算AB上的对应点P、Q
    local P = vec_add(A, vec_mul_scalar(u_vec, ac_dot_u / 2))
    local Q = vec_add(A, vec_mul_scalar(u_vec, (ac_dot_u + len_AB) / 2))
    -- 计算短边中点M、N
    local M = vec_add(B, vec_mul_scalar(vec_sub(C, B), 0.5))
    local N = vec_add(A, vec_mul_scalar(vec_sub(C, A), 0.5))

    -- 计算平面法向量（用于拉伸长方体）
    local normal = vec_normalize(vec_cross(AB, AC))
    return {M, N, Q, P}, normal
end

额外优化提示 #

• 若要完全覆盖三角形，用上述大长方体加两个小长方体（分别覆盖剩余的两个小三角形），总共3个即可满足最少数量要求。
• 你之前尝试的投影2D再旋转方案失败，大概率是因为旋转时未正确还原3D空间的平面深度信息，用局部坐标系的方法全程在3D平面内计算，可靠性更高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bug