为何在依赖类型语言中`Let-in`结构无法定义为派生形式？

在非依赖类型语言里，我们通常可以把let x = t in u等价于(λx.u) t，也就是把Let-in作为λ抽象加应用的派生语法。但在依赖类型语言中，这种等价性不成立，原因和依赖类型的特性密切相关。

Coq参考手册的「类型规则」章节给出了关键说明：

我们可能拥有类型合法的𝗅𝖾𝗍 𝑥:=𝑡:𝑇 𝗂𝗇 𝑢，却不拥有类型合法的((λ𝑥:𝑇. 𝑢) 𝑡)（其中𝑇是𝑡的一个类型）。这是因为与𝑥关联的值𝑡可能会被用于转换规则（参见转换规则章节）。

核心区别在于两者的上下文信息差异：

• 对于let x := t : T in u，变量x在u的上下文里是具体的值t，类型检查时可以直接利用t的转换规则（比如β归约、类型等价转换）验证u的合法性。比如t是1+1（类型为nat），u是依赖x的Vector.t A x，此时x等价于2，Vector.t A x会被转换为Vector.t A 2，只要这个类型合法，整个Let-in结构就合法。
• 而对于(λx:T. u) t，λ抽象中的x只是类型为T的任意变量，检查λx:T. u时，u必须在x是T类型任意元素的情况下都合法。如果u的合法性依赖x的具体值（比如u是Even(x)的元素，Even(n)仅当n为偶数时是有效 inhabited 类型），那么λx:nat. u的类型检查会直接失败——因为x可以是任意自然数，无法保证Even(x)总有意义，但Let-in中x被绑定为具体的偶数t，u的合法性就能通过转换规则验证。

这种差异导致Let-in无法被简单定义为λ应用的派生形式，必须作为独立的语法结构存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yiyuan-cao