求助：线性化形如‘若a==b则c=1’的if-then约束（a、b为正整数，c为二元变量）

针对你提到的约束（a、b为正整数，c为二元0-1变量），我来帮你梳理线性化的具体方案——核心思路是排除a==b且c=0的非法组合，同时允许其他所有合法情况。

具体线性约束组（无二次项，通用可行） #

我们可以用大M方法+辅助二元变量来实现纯线性约束：

1. 引入两个辅助二元变量x和y（取值仅为0或1）；
2. 选择一个足够大的正整数M（建议取a和b的最大可能取值，确保M大于a与b的最大差值）；
3. 添加以下4条约束：
   • a ≥ b + 1 - M * x
   • b ≥ a + 1 - M * y
   • x + y ≤ 1 - c
   • x ∈ {0, 1}, y ∈ {0, 1}

约束作用详解 #

我们分场景验证有效性：

• 当a == b时：
  如果尝试让c=0，约束3要求x + y ≤1。此时无论x、y取什么组合：

  • 若x=0，约束1变为a ≥ b+1，即0≥1，不成立；
  • 若y=0，约束2变为b ≥a+1，即0≥1，不成立；
  • 若x=1且y=1，约束3x+y≤1直接不成立。
    所有组合都不可行，因此c只能取1，完美满足原约束要求。

  若c=1，约束3要求x+y≤0，即x=0且y=0。代入约束1和2，得到a ≥b+1-M和b≥a+1-M，由于M足够大，这两个约束自动成立，允许a==b的情况存在。

• 当a ≠ b时：
  无论c取0还是1，都能找到合法的x、y取值满足约束：

  • 若a > b，当c=0时取x=0、y=1，约束1直接成立，约束2因M足够大自动成立；当c=1时取x=0、y=0，两个约束都自动成立。
  • 若b > a，同理调整x、y的取值即可。

可选简化方案（仅适用于支持二次约束的求解器） #

如果你的求解器支持二次约束，也可以不用辅助变量，直接写成：
(a - b) * (b - a) ≤ M * (1 - c)
这个式子利用了a==b时左边为0的性质，当c=0时强制左边≤0（即a≠b），但注意这是二次约束，通用性不如纯线性方案。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Unziello