有限尺寸标度：多系统尺寸数据坍缩为单曲线的拟合求助

核心思路 #

要实现不同系统尺寸数据的坍缩，核心是通过变量变换将所有数据集映射到同一曲线：令 $z = x_{\text{arr}} / L^\beta$，则 $y_{\text{arr}} = L^\alpha \cdot f(z)$，即 $f(z) = y_{\text{arr}} / L^\alpha$。我们需要同时优化 $\alpha$、$\beta$ 和函数 $f$（你选的7次多项式），让所有变换后的 $(z, y_{\text{arr}}/L^\alpha)$ 点尽可能贴合同一条拟合曲线。

具体操作步骤 #

• 统一变量变换后再拟合
  不要直接对原始数据拟合多项式，先对每个系统尺寸的数据集做标度变换：

  1. 对每个系统尺寸 $L$，计算缩放后的自变量 $z_i = x_{\text{arr},i} / L^\beta$
  2. 计算缩放后的因变量 $\hat{y}i = y{\text{arr},i} / L^\alpha$
     将三个数据集的 $(z_i, \hat{y}_i)$ 合并成统一数据集，再用7次多项式拟合这个合并后的数据集。

• 联合优化所有参数
  用数值优化工具（比如Python的scipy.optimize.minimize）同时求解 $\alpha$、$\beta$ 和多项式的7个系数：

  1. 定义损失函数：所有原始数据点的 $y_{\text{arr},i}$ 与预测值 $L^\alpha \cdot \text{poly}(x_{\text{arr},i}/L^\beta)$ 的残差平方和
  2. 初始化参数（比如 $\alpha=0$、$\beta=1$，多项式系数初始为随机小值），让优化器最小化损失函数

• 先从低次多项式尝试，避免过拟合
  7次多项式容易出现过拟合，建议先从2-3次多项式开始验证坍缩效果，若残差过大再逐步提升次数。

• 手动初估参数（优化收敛困难时用）
  若优化器收敛不稳定，可以先手动估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的初始值：

  • 取两组数据，找到满足 $x_1/L_1^\beta = x_2/L_2^\beta$ 的对应点，对 $\log(y_1) - \log(y_2)$ 与 $\log(L_1) - \log(L_2)$ 做线性回归，斜率即为 $\alpha$
  • 同理，固定 $y_1/L_1^\alpha = y_2/L_2^\alpha$，对 $\log(x_1) - \log(x_2)$ 与 $\log(L_1) - \log(L_2)$ 做线性回归，斜率即为 $\beta$

• 验证与调整
  得到参数后，将所有变换后的 $(z, \hat{y})$ 点和拟合的 $f(z)$ 曲线画在同一张图上，观察坍缩效果。若部分区域偏离，可调整多项式次数或重新初始化优化参数再次求解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Barry