已知顶点与两点，用Matplotlib绘制抛物线及生成抛物数值向量

1. 先明确核心矛盾 #

你给出的三个点：顶点[5,2]、[1,1]、[10,1]，无法共处于同一条抛物线。验证过程：
抛物线顶点式为 y = a(x - h)² + k，其中(h,k)是顶点坐标(5,2)，代入后方程为 y = a(x-5)² + 2。

• 代入点[1,1]：1 = a(1-5)² + 2 → 16a = -1 → a = -1/16
• 代入点[10,1]：计算得 y = (-1/16)(10-5)² + 2 = 7/16 ≈ 0.4375，和给定的y值1不符。

以下分两种场景给出解决方案：

2. 场景一：调整点以满足严格共线抛物线 #

如果要让顶点和其中一个点严格在抛物线上，保留顶点[5,2]与点[1,1]，生成对应数值向量的Python实现如下：

import numpy as np

# 生成0到10的x数值向量（100个均匀采样点）
x_vec = np.linspace(0, 10, 100)
# 顶点参数
h, k = 5, 2
# 由点[1,1]计算得到的系数a
a = -1/16
# 计算对应的y数值向量
y_vec = a * (x_vec - h)**2 + k

# 查看前5组值
print("x前5个值:", x_vec[:5])
print("y前5个值:", y_vec[:5])

3. 场景二：拟合接近三个点的抛物线（最小二乘法） #

如果必须保留给定的三个点，用最小二乘法拟合最接近的抛物线，生成数值向量的代码如下：

import numpy as np

# 给定的三个点
points = np.array([[5,2], [1,1], [10,1]])
x_points = points[:, 0]
y_points = points[:, 1]

# 构建拟合矩阵，求解抛物线一般式y = ax² + bx + c的系数
A = np.vstack([x_points**2, x_points, np.ones(len(x_points))]).T
a, b, c = np.linalg.lstsq(A, y_points, rcond=None)[0]

# 生成0到10的x向量并计算拟合后的y向量
x_vec = np.linspace(0, 10, 100)
y_fit_vec = a * x_vec**2 + b * x_vec + c

print(f"拟合方程: y = {a:.4f}x² + {b:.4f}x + {c:.4f}")
print("x=10对应的拟合y值:", y_fit_vec[x_vec == 10])

4. 可视化验证（可选） #

如果需要查看效果，用matplotlib绘制图像：

import matplotlib.pyplot as plt

# 场景一绘图
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(x_vec, y_vec, label='顶点+[1,1]的抛物线')
plt.scatter([5,1], [2,1], color='red', label='给定顶点与点')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

# 场景二绘图
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(x_vec, y_fit_vec, label='拟合三个点的抛物线')
plt.scatter(x_points, y_points, color='red', label='给定三个点')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Logan McNulty