如何在Agda中定义观测等价并正确表述Tile类型的渲染外延等价性命题

一、正确定义Tile的观测等价 #

观测等价的核心逻辑是：两个对象如果在所有可观测的测试场景中结果完全一致，那么它们观测等价。对于你的Tile类型而言，唯一的可观测测试就是调用rasterize函数传入任意宽度w和高度h后的渲染结果。

基于这个逻辑，你可以这样定义Tile的观测等价关系：

-- 定义Tile之间的观测等价关系
_≈_ : Tile → Tile → Set
t₁ ≈ t₂ = ∀ (w h : ℕ) → rasterize w h t₁ ≡ rasterize w h t₂

这个定义的直白意思是：t₁和t₂观测等价，当且仅当对任意自然数宽度w和高度h，两者的渲染结果都满足命题相等。

二、正确表述“渲染一致则Tile相等”的命题 #

你之前写出的obs-eq存在逻辑偏差：它要求的是某一组特定的w和h下渲染相等，就直接推出t₁ ≡ t₂——但这显然不符合你的真实需求，你需要的是所有w和h下渲染结果都一致时，才能得出Tile本身相等的结论。

正确的命题应该是「观测等价蕴含命题相等」，有两种清晰的表述形式：

形式一：复用预先定义的观测等价符号

-- 观测等价可以推导出命题相等
obs-eq-to-propositional : ∀ (t₁ t₂ : Tile) → t₁ ≈ t₂ → t₁ ≡ t₂

形式二：直接内嵌全称量化条件

如果不想单独定义_≈_符号，也可以把全称量化的条件直接写在命题里：

obs-eq-to-propositional : ∀ (t₁ t₂ : Tile)
                        → (∀ w h → rasterize w h t₁ ≡ rasterize w h t₂)
                        → t₁ ≡ t₂

额外说明：关于命题证明的思路 #

要证明这个命题，通常需要结合Tile的具体定义（比如它是归纳类型的话）展开归纳证明：

• 对t₁和t₂的构造子进行分情况讨论
• 利用rasterize函数的定义，反推构造子的参数必须完全相等
• 最后通过命题相等的传递性、构造子的单射性（如果构造子具备该性质），最终得出t₁ ≡ t₂的结论

另外你提到的sigma类型（Σ-Type）在这里并不适用，因为我们的观测条件是全称量化（覆盖所有w和h），而sigma类型用于表达存在量化（存在某一组w和h），和你的需求完全不匹配。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Farzad Bekran