咨询两帧相机图像相对位姿变换：计算公式及正反变换差异

前提说明 #

相机的3×4位姿矩阵[R | t]中，R是3×3正交旋转矩阵（表示相机相对于世界坐标系的朝向），t是3×1平移向量（表示相机相对于世界坐标系的位置）。位姿的核心作用是实现坐标转换：世界坐标系下的点P_w，转换到相机坐标系下为P_c = R·P_w + t。

帧1到帧2的相对位姿推导 #

设帧1位姿为T₁ = [R₁ | t₁]，帧2位姿为T₂ = [R₂ | t₂]。我们需要求从帧1到帧2的相对位姿T₁→₂，它满足：帧2的世界位姿 = 相对位姿 × 帧1的世界位姿（对齐齐次变换的逻辑，需将3×4矩阵补为4×4齐次矩阵[[R, t], [0 0 0 1]]进行运算）。

拆解后得到：

• 旋转分量：R₁→₂ = R₂·R₁ᵀ（旋转矩阵的逆等于其转置，这是正交矩阵的特性）
• 平移分量：t₁→₂ = t₂ - R₂·R₁ᵀ·t₁

最终相对位姿矩阵为T₁→₂ = [R₁→₂ | t₁→₂]

帧2到帧1的相对位姿推导 #

反过来，**从帧2到帧1的相对位姿T₂→₁**满足：帧1的世界位姿 = 相对位姿 × 帧2的世界位姿，计算得：

• 旋转分量：R₂→₁ = R₁·R₂ᵀ = R₁→₂ᵀ（即R₁→₂的转置/逆）
• 平移分量：t₂→₁ = t₁ - R₁·R₂ᵀ·t₂ = -R₁→₂ᵀ·t₁→₂

两者的差异 #

帧1→帧2和帧2→帧1的相对位姿互为逆变换，具体差异体现在：

• 旋转部分：互为转置（因为旋转矩阵是正交矩阵，逆等于转置），对应旋转方向完全相反
• 平移部分：帧2→帧1的平移向量是帧1→帧2的平移向量经过反向旋转后取反，对应平移的方向和空间指向都发生了反转

举个直观例子：如果帧2相对于帧1沿x轴平移了2单位，那么帧1相对于帧2就是沿x轴平移-2单位；如果帧2相对于帧1绕z轴旋转90度，那么帧1相对于帧2就是绕z轴旋转-90度，同时平移向量也要做对应的反向旋转调整。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helloword