求无向图中A到B经各节点的简单路径数的多项式时间解法

核心结论 #

不存在已知的多项式时间解法来解决这个问题，除非P=NP成立（目前学界普遍认为P≠NP）。

原因分析 #

你的问题本质是统计起点A到终点B的所有简单路径中，各节点的途经次数，这是#P-完全问题的延伸：

• 基础的「计算A到B的简单路径总数」本身就是#P-完全问题——这类问题的难度远高于NP问题，目前没有任何多项式时间算法被证明存在，也普遍被认为不存在。
• 每个节点的途经次数，等价于「经过该节点的A到B简单路径的数量」，这是简单路径计数问题的直接衍生问题，自然也继承了#P-完全的复杂度，无法用多项式时间解决。

关于Floyd–Warshall变体的问题 #

Floyd–Warshall算法的核心是通过动态规划递推所有节点对之间的路径，但其状态设计允许重复访问节点（因为它的状态仅考虑经过指定节点的路径，不限制节点重复），所以无法直接修改来统计简单路径：

• 简单路径要求所有节点仅被访问一次，这意味着需要记录「已访问节点集合」作为状态的一部分，而这类状态的数量是2^n（n为节点数），属于指数级，无法压缩到多项式规模。

实际处理思路 #

如果需要解决实际场景中的这类问题，只能采用指数级复杂度的精确方法，或者启发式近似方法：

• 精确方法：使用状态为dp[mask][u]的动态规划，其中mask是表示已访问节点的二进制集合，u是当前节点，dp[mask][u]记录从A出发、访问过mask中的节点、到达u的路径数。最终统计每个节点v的途经次数时，累加所有包含v的mask对应的dp[mask][B]数值。
• 启发式方法：针对小规模图使用回溯枚举，或者针对特定图结构（比如近似树状的图）做剪枝优化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user16786403