平面N点集同侧直线系数求解：过首点直线的数学解法问询

设平面上的N个点为 ( P_0(x_0,y_0), P_1(x_1,y_1), ..., P_{N-1}(x_{N-1},y_{N-1}) )，要求找到过 ( P_0 ) 和其余某点 ( P_i ) 的直线 ( y=kx+b )，使得所有点都在直线同侧或直线上，具体解法步骤如下：

1. 构造过 ( P_0 ) 和单个 ( P_i ) 的直线标准式 #

对每个 ( i \in [1, N-1] )，构造过 ( P_0 ) 和 ( P_i ) 的直线，将其转化为标准式 ( Ax + By + C = 0 )：

• 计算系数：
  ( A = y_i - y_0 )
  ( B = x_0 - x_i )
  ( C = x_i y_0 - x_0 y_i )
  该式由两点式推导而来，确保直线必过 ( P_0 ) 和 ( P_i )。

2. 判断所有点是否在直线同侧或直线上 #

对每个构造出的直线，遍历所有点 ( P_j (j \in [0, N-1]) )，计算每个点代入标准式左侧的结果：
( D_j = A x_j + B y_j + C )

• 若所有 ( D_j ) 满足 ( D_j \geq 0 )，或所有 ( D_j ) 满足 ( D_j \leq 0 )，则该直线符合要求。
  （注：( D_j = 0 ) 表示点在直线上，( D_j ) 的正负代表点在直线的两侧）

3. 转换为斜截式 ( y=kx+b ) #

对符合条件的直线，根据是否垂直于x轴转换为要求的形式：

• 当 ( x_i \neq x_0 )（非垂直直线）：
  ( k = \frac{y_i - y_0}{x_i - x_0} )
  ( b = y_0 - k x_0 )
• 当 ( x_i = x_0 )（垂直直线）：
  直线方程为 ( x = x_0 )，此时无斜截式的 ( k )（斜率不存在），需单独说明：所有点的x坐标需满足 ( x_j \geq x_0 ) 或 ( x_j \leq x_0 )。

特殊情况处理 #

• 若所有点与 ( P_0 ) 重合：任意过 ( P_0 ) 的直线均符合要求。
• 若 ( N=2 )：过 ( P_0 ) 和 ( P_1 ) 的直线必然符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elijah Sokol