求含旋转参数θ的二维平顶高斯分布拟合公式

我需要一个带旋转参数θ的二维平顶高斯分布（2D flat-top Gaussian distribution）公式。

问题背景：
我有示例数据图像，尝试为这些数据拟合函数，最初采用了旋转二维高斯分布的拟合公式：

sigx2 = sigma_x**2
sigy2 = sigma_y**2

a = np.cos(theta)**2/(2*sigx2) + np.sin(theta)**2/(2*sigy2)
b = np.sin(theta)**2/(2*sigx2) + np.cos(theta)**2/(2*sigy2)
c = np.sin(2*theta)/(4*sigx2) - np.sin(2*theta)/(4*sigy2)

expo = -a*(x-x0)**2 - b*(y-y0)**2 - 2*c*(x-x0)*(y-y0)
g = offset + A*np.exp(expo)

但普通二维高斯分布的陡峭度不足，我需要更接近圆润、平缓的均匀分布形态。找到的平顶高斯分布公式如下：
$$f(x,y)=A\exp\left(-\left(\frac{\left(x-x_0\right)}{2\sigma^2_X}\right){P_X}-\left(\frac{\left(y-y_0\right)}{2\sigma^2_Y}\right){P_Y}\right)$$
我认为该公式适用，但不知如何将旋转参数θ融入其中，使其支持旋转。能否帮忙修改原有公式以实现平顶分布，或是在该平顶高斯公式中加入旋转参数θ？

要实现带旋转的二维平顶高斯分布，核心是先对坐标做旋转变换，再代入平顶高斯公式，具体步骤如下：

1. 坐标旋转变换逻辑 #

先将原始坐标$(x,y)$转换为以$(x_0,y_0)$为中心、旋转θ角后的局部坐标$(u,v)$，把旋转后的分布轴对齐到局部坐标系的u、v轴：
$$
\begin{cases}
u = (x - x_0)\cos\theta + (y - y_0)\sin\theta \
v = -(x - x_0)\sin\theta + (y - y_0)\cos\theta
\end{cases}
$$

2. 带旋转的平顶高斯公式 #

将变换后的$(u,v)$代入平顶高斯公式，得到最终带旋转的版本：
$$
f(x,y) = \text{offset} + A\exp\left(
-\left( \frac{u}{2\sigma_X^2} \right)^{P_X}
-\left( \frac{v}{2\sigma_Y^2} \right)^{P_Y}
\right)
$$
参数说明：

• $P_X、P_Y$：平顶控制参数，值越大顶部越平坦（$P=2$时退化为普通二维高斯）
• $\theta$：旋转角度，控制分布的朝向
• $\sigma_X、\sigma_Y$：两个轴方向的尺度参数
• $x_0、y_0$：分布中心，$A$为振幅，$\text{offset}$为基线偏移

3. 对应的Python实现代码 #

基于numpy的可直接用于拟合的代码：

import numpy as np

def rotated_flat_top_gaussian(x, y, x0, y0, sigma_x, sigma_y, theta, Px, Py, A, offset):
    # 坐标旋转变换
    u = (x - x0) * np.cos(theta) + (y - y0) * np.sin(theta)
    v = -(x - x0) * np.sin(theta) + (y - y0) * np.cos(theta)
    
    # 计算平顶高斯指数项
    term_u = (u / (2 * sigma_x**2)) ** Px
    term_v = (v / (2 * sigma_y**2)) ** Py
    expo = -(term_u + term_v)
    
    return offset + A * np.exp(expo)

关键提示 #

• 旋转变换是线性操作，不会改变平顶分布的核心形态，仅调整朝向
• 若需要对称平顶分布，可设置$P_X=P_Y$，减少拟合参数数量
• 拟合时建议先固定$P$的初始值（比如4~8，根据数据平坦度调整），再优化其他参数，提升拟合稳定性

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jlipinski