如何在d维单位超球面上构建满足闭合性的线性插值器？

问题概述 #

需要基于d维单位超球面上的n个非均匀采样点（每个点取值为-1或1），定义一种可线性的插值器。已有可行方案但实现繁琐，希望找到更优方法。

二维（圆形）场景示例 #

在d=2的圆形场景中：圆边上有n个任意分布的点，每个点取值为-1或1。选取从圆心指向边界的参考向量u，通过测量各采样点与u的夹角，将圆周视为闭合区间[0, 2π]（0与2π为同一点），以此构建线性插值器R，可将圆周上任意点映射到[-1,1]区间。

d维场景的推广思路 #

将上述方法推广到d维场景时，d维超球面表面可由d-1个变量唯一确定：选取从球心出发的参考向量u与d-1个正交平面，通过测量插值点与这些平面的角度，将超球面表示为d-1个[0, 2π]区间的笛卡尔积。

现有方案的局限性 #

当前使用的方案依赖scipy的插值函数：

scipy.interpolate.interpn([l1,..., lm, p1,..., pk], [1, ..., 1, -1, ..., -1], v, method='linear')

其中(l1,…,lm)是取值为1的正采样点，(p1,…,pk)是取值为-1的负采样点，v是待插值点（基于参考向量u的角度表示）。

但该插值器未考虑超球面的闭合性（跨边界后需首尾取值一致），虽可通过复制空间的方式模拟闭合效果，但随着维度增加，复制量会以2^(d-1)的速度增长，扩展性极差。

寻求的解决方向 #

想了解是否存在原生支持闭合性的插值函数（类似地理空间中的球面插值方法），或者是否有更简洁的问题建模方式来规避上述扩展性问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Teddyzander