如何通过投影变换将2D笛卡尔平面的4个点映射到新坐标？

要实现4组2D点之间的投影变换（透视变换），核心是通过3x3齐次变换矩阵来完成，具体操作逻辑如下：

• 用齐次坐标表示点：将原始点$(x_i, y_i)$转换为齐次形式$(x_i, y_i, 1)$，目标点$(X_i, Y_i)$转换为$(X_i, Y_i, 1)$；
• 构建线性方程组：投影变换满足$[X_i, Y_i, 1]^T = M \cdot [x_i, y_i, 1]^T$（$M$为3x3变换矩阵），由于矩阵有9个元素且可通过归一化消除一个自由度，4组对应点恰好能构建出8个独立方程；
• 求解变换矩阵：解上述线性方程组得到矩阵$M$的所有元素；
• 应用变换：对任意需要变换的点，用齐次坐标与$M$相乘后，通过齐次除法（将前两个元素除以第三个元素）得到最终的投影后坐标。

这类变换的本质是利用线性代数求解仿射+透视的复合变换，4组对应点是确定唯一投影变换的必要条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Prem Sinha