Matlab中簇内两两平方距离和的计算验证与原理问询

问题1：代码计算的是哪种距离？ #

这段代码计算的是欧几里得距离的平方，完全对应公式中的$|u-v|^2$，即簇内任意两个观测样本之间的欧氏距离平方值。

问题2：代码与公式的对应性推导说明 #

目标公式为：
$$D_r = \sum_{u,v\in Cluster}\left|u-v\right|^{2}$$
其中$u$、$v$是cluster矩阵的列向量（行代表变量，列代表观测样本），以下是代码与公式的对应推导：

1. 欧氏距离平方的展开
   对于任意两个列样本$u$和$v$，欧氏距离平方可展开为：
   $$|u-v|^2 = (u-v)^T(u-v) = u^Tu + v^Tv - 2u^Tv$$
   其中：

• $u^Tu$是样本$u$自身的点积（即各元素平方和），对应代码中clstrsq = dot(cluster,cluster,1)：dot(cluster,cluster,1)对cluster的每一列计算自点积，得到的clstrsq是一个行向量，每个元素对应一个样本的$u^Tu$值。

2. 构造两两样本的平方和项
   bsxfun(@plus,clstrsq',clstrsq)将clstrsq转置为列向量后，与原行向量做广播加法，得到的矩阵中每个位置$(i,j)$的值为$u_i^Tu_i + u_j^Tu_j$，对应展开式的前两项之和。

3. 构造交叉项
   2*(cluster'*cluster)中，cluster'*cluster的$(i,j)$位置是$u_i^{Tu_j$（两个样本的点积），乘以2后恰好对应展开式的$-2u}Tv$项的相反数。

4. 求和得到最终结果
   将前两步的结果相减，得到的矩阵每个位置$(i,j)$就是$|u_i - u_j|^2$，最后通过sum(sum(...))将矩阵所有元素累加，就得到了簇内所有样本两两之间的距离平方和，完全匹配目标公式$D_r$的计算逻辑。

注：代码中包含了$u=v$的情况（样本自身与自身的距离平方为0），但由于0不影响求和结果，最终计算值与公式要求的结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者バシル