非零中心PDF卷积出现意外偏移，求技术分析

问题描述 #

我尝试对两个非零中心的PDF进行卷积，分别是Uniform(0.2, 0.5)均匀分布和triangular(0.1, 0.2, 0.3)三角分布，但结果不符合预期。我预期卷积结果的区间为(0.3, 0.8)，但实际得到的卷积结果位于(0.35, 0.85)。

原代码 #

import numpy as np
import plotly.express as px

# X values for bot
x_vec = np.linspace(0, 1, 100000, dtype='float32') # Distribution values

# Uniform distribution
p_x = np.where((x_vec >= 0.2) & (x_vec <= 0.5),
                        1/0.3, 0)
pdf_1 = p_x / np.sum(p_x) # Scaling to be a PDF

# Triangular distribution
p_x = np.where((x_vec >= 0.1) & (x_vec <= 0.3),
                        np.interp(x_vec, [0.1, 0.2, 0.3], [0, 10, 0]), 0)
pdf_2 = p_x / np.sum(p_x) # Scaling to be a PDF

# Convolution
conv_pdf = np.convolve(pdf_1, pdf_2, 'full')

# Plotting
fig = px.scatter()
fig.add_scatter(x=x_vec, y=pdf_1, name='pdf_sample_1')
fig.add_scatter(x=x_vec, y=pdf_2, name='pdf_sample_2')
fig.add_scatter(x=x_vec, y=conv_pdf, name='convolution')
fig.add_vline(x=0.35) # Added to show start of convolution != 0
fig.add_vline(x=0.85) # Added to show end of convolution != 0
fig.show()

问题根源 #

1. 卷积结果的x轴坐标不匹配 #

np.convolve用'full'模式生成的conv_pdf长度为len(pdf_1) + len(pdf_2) - 1（即199999个元素），但你绘图时仍使用原x_vec（仅100000个元素）对应，这导致坐标映射完全错误，你看到的(0.35, 0.85)是错误坐标带来的假象。

2. PDF离散化的归一化方式错误 #

你用np.sum(p_x)直接归一化PDF，这仅保证离散采样点的和为1，但连续PDF的离散化需要保证采样点值乘以步长的和为1。x_vec的步长为(1-0)/99999 ≈ 1e-5，错误的归一化会导致离散PDF的缩放偏差，进一步影响卷积结果的数值表现。

修正方案 #

步骤1：计算采样步长 #

step = x_vec[1] - x_vec[0]

步骤2：修正PDF归一化 #

# 均匀分布PDF修正
p_x = np.where((x_vec >= 0.2) & (x_vec <= 0.5), 1/0.3, 0)
pdf_1 = p_x / (np.sum(p_x) * step)

# 三角分布PDF修正
p_x = np.where((x_vec >= 0.1) & (x_vec <= 0.3),
               np.interp(x_vec, [0.1, 0.2, 0.3], [0, 10, 0]), 0)
pdf_2 = p_x / (np.sum(p_x) * step)

步骤3：生成卷积结果的对应x轴坐标 #

conv_x = np.linspace(x_vec[0] + x_vec[0], x_vec[-1] + x_vec[-1], len(conv_pdf))

步骤4：修正绘图代码 #

fig = px.scatter()
fig.add_scatter(x=x_vec, y=pdf_1, name='pdf_sample_1')
fig.add_scatter(x=x_vec, y=pdf_2, name='pdf_sample_2')
# 卷积结果需乘以步长，将离散卷积和转换为连续PDF数值
fig.add_scatter(x=conv_x, y=conv_pdf * step, name='convolution')
fig.add_vline(x=0.3)
fig.add_vline(x=0.8)
fig.show()

验证结果 #

修正后，卷积结果的区间将与预期一致：最小值为0.2+0.1=0.3，最大值为0.5+0.3=0.8。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ArthurOA