图像缩放对相机校准投影矩阵的影响及M₁与M₂的关系探究

理论数学关系 #

投影矩阵的核心作用是将3D齐次点 $\mathbf{X} = [X,Y,Z,1]^T$ 映射到2D齐次像素点 $\mathbf{u} = [u,v,1]^T$，满足：
$$\mathbf{u} = M \cdot \mathbf{X}$$

针对你的两个案例：

• 案例1：图像 $I_1$ 的像素坐标 $(u_1, v_1)$ 满足 $[u_1; v_1; 1] = M_1 \cdot \mathbf{X}$
• 案例2：$I_2$ 是 $I_1$ 2倍缩放后的图像，对应像素坐标满足 $u_2 = 2u_1$、$v_2 = 2v_1$，代入投影关系得 $[u_2; v_2; 1] = M_2 \cdot \mathbf{X}$

结合齐次坐标的特性（$[k \cdot u; k \cdot v; k]$ 与 $[u; v; 1]$ 表示同一个像素点），推导可得：
将 $[u_2; v_2; 1]$ 转化为与 $M_1$ 相关的形式：
$$[2u_1; 2v_1; 1] = \begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix} \cdot [u_1; v_1; 1] = \begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix} \cdot M_1 \cdot \mathbf{X}$$

由于投影矩阵是齐次定义的（整体乘以非零常数不改变投影结果），因此 $M_2$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix} \cdot M_1$ 是齐次等价的——存在非零常数 $k$，使得：
$$M_2 = k \cdot \begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix} \cdot M_1$$

实验中近似相同的原因 #

你观察到 $M_1$ 与 $M_2$ 仅在小数点后第二位有偏差，属于合理现象，原因如下：

• 插值误差：图像2倍缩放时的插值操作会给2D对应点带来微小的坐标偏移，导致最小二乘求解的投影矩阵出现数值误差。
• 归一化操作：相机校准的最小二乘算法通常会对输入数据或最终投影矩阵做归一化处理（比如将矩阵的Frobenius范数归一化到1），这会抵消掉缩放带来的矩阵缩放因子，使得归一化后的 $M_1$ 和 $M_2$ 数值上高度接近。

结论 #

$M_1$ 与 $M_2$ 并非完全相同，而是齐次等价的关系。实验中的近似相同是归一化操作和插值误差共同作用的结果，属于正常情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SKC