鱼眼相机视场角(FoV)与图像尺寸、焦距的通用公式及计算方法求证

标准透视相机的FoV推导基础 #

标准透视投影相机的视场角公式为：
$$FoV=2\times\arctan\left(\frac{\text{传感器尺寸}}{2f}\right)$$
其中$f$为相机焦距。这个公式的核心是基于透视投影的像点距离-入射角度关系：
$$r=f\tan\theta$$
这里$r$是像点到主点的距离，$\theta$是入射光线与主轴的夹角。通过反演这个关系，当$r$取传感器尺寸的一半（即图像边缘对应的最大距离）时，解出对应的$\theta$最大值，再乘以2就得到了FoV。

鱼眼相机的投影模型差异 #

鱼眼相机采用非透视投影模型，其$r=r(\theta)$的关系与标准相机不同，不同类型的鱼眼投影（如等距投影、等立体角投影、正交投影等）对应不同的函数形式。

比如等立体角投影的FoV公式为：
$$FoV=4\times\arcsin\left(\frac{\text{图像尺寸}}{4f}\right)$$
这个公式正是通过反演等立体角投影的$r(\theta)$关系推导而来。

反演r(θ)计算FoV的可行性与证明 #

可行性结论 #

是的，完全可以通过反演各投影模型对应的$r=r(\theta)$关系来计算鱼眼相机的FoV，这是视场角定义与投影模型本质决定的通用方法。

严格证明逻辑 #

1. 视场角的本质定义：FoV是相机能够捕捉到的入射光线与主轴的最大夹角的对应范围。对于单方向（如水平/垂直）的FoV，其值为$2\theta_{max}$，其中$\theta_{max}$是图像边缘处像点对应的入射光线与主轴的夹角。
2. 投影模型的单调性：在相机的有效视场范围内，投影函数$r=r(\theta)$是单调递增的——入射光线角度$\theta$越大，像点到主点的距离$r$越远，直到到达图像边缘。这保证了函数在有效范围内存在唯一的反函数$\theta=\theta(r)$。
3. 反演推导步骤：
   • 确定图像边缘对应的最大$r$值：若图像尺寸（如水平宽度）为$S$，则$r_{max}=S/2$；
   • 将$r_{max}$代入投影模型$r=r(\theta)$，通过反函数解出对应的$\theta_{max}$；
   • 根据FoV的定义，计算得到对应方向的FoV（通常为$2\theta_{max}$，部分全景鱼眼可能对应更大范围，但逻辑一致）。

实例验证（等立体角投影） #

等立体角投影的$r(\theta)$关系为：
$$r=2f\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
当$r=r_{max}=S/2$（$S$为图像尺寸）时，代入得：
$$\frac{S}{2}=2f\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)$$
整理后解出$\theta_{max}$：
$$\sin\left(\frac{\theta_{max}}{2}\right)=\frac{S}{4f}$$
$$\theta_{max}=2\arcsin\left(\frac{S}{4f}\right)$$
因此水平/垂直FoV为：
$$FoV=2\theta_{max}=4\arcsin\left(\frac{S}{4f}\right)$$
这与已知的等立体角鱼眼FoV公式完全一致，验证了反演方法的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PabloVD