如何优化基于Fenwick Tree的最长递增子序列（LIS）解法性能？

1. 替换冗余逻辑：用离散化去重替代路径检查+前置极小值 #

• 问题根源：原方案中的前置极小值和路径检查会引入额外遍历与条件判断，拖慢性能。
• 优化操作：
  • 对输入数组做排序去重得到有序唯一数组，将原数组元素映射到该数组的索引（转换为Fenwick Tree的1-based索引）。
  • 利用二分查找确定当前元素的查询范围：对于元素x，用bisect_left找到其在唯一数组中的位置idx，则比x小的所有元素对应Fenwick Tree的1~idx区间，直接查询该区间最大值即可保证严格递增，无需额外路径检查。
  • 移除序列头部的极小值：离散化后的索引天然适配Fenwick Tree从1开始的特性，初始状态下Fenwick Tree所有节点值为0，第一个元素查询结果为0，更新后值为1，逻辑完全自洽。

2. 优化Fenwick Tree的实现细节 #

• 最大值型Fenwick Tree的高效实现：
  • 采用数组直接存储树结构，避免类成员函数的额外开销（若用面向对象语言，可将核心操作内联或简化）。
  • 更新操作提前终止：在更新节点时，若当前节点已有值大于等于要更新的值，直接终止向上更新——因为Fenwick Tree父节点存储的是区间最大值，当前节点无变化时，父节点的最大值也不会改变，这能大幅减少循环次数。
  • 查询操作极简逻辑：遍历前缀区间时仅记录最大值，避免不必要的计算。

示例代码（Python）：

import bisect

def get_sorted_unique(arr):
    sorted_arr = sorted(arr)
    unique = []
    prev = None
    for num in sorted_arr:
        if num != prev:
            unique.append(num)
            prev = num
    return unique

class FenwickTree:
    def __init__(self, size):
        self.n = size
        self.tree = [0] * (self.n + 2)  # 预留额外空间避免越界
    
    def update(self, idx, value):
        while idx <= self.n:
            if self.tree[idx] < value:
                self.tree[idx] = value
            else:
                break  # 无需继续向上更新
            idx += idx & -idx
    
    def query(self, idx):
        res = 0
        while idx > 0:
            if self.tree[idx] > res:
                res = self.tree[idx]
            idx -= idx & -idx
        return res

def strict_lis_length(arr):
    if not arr:
        return 0
    sorted_unique = get_sorted_unique(arr)
    ft = FenwickTree(len(sorted_unique))
    max_len = 0
    for num in arr:
        idx = bisect.bisect_left(sorted_unique, num)
        current = ft.query(idx) + 1
        ft.update(idx + 1, current)
        if current > max_len:
            max_len = current
    return max_len

3. 离散化的性能优化 #

• 避免使用set去重：对于大规模数组，直接排序后遍历去重比先转set再排序更高效，减少哈希表的构建开销。
• 用内置高效二分实现：比如Python的bisect模块（底层C实现），比手动写二分查找快很多。

性能对比 #

优化后的方案将时间复杂度稳定在O(NlogN)，和线段树实现的复杂度一致，但Fenwick Tree的常数更小（代码更简洁、内存占用更低、操作步骤更少），实际运行效率会优于线段树实现。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hopin