求向量函数f(vector)=vector×squareMagnitude的逆函数

给定三维向量 ( A = (A_x, A_y, A_z) )，其平方模长 ( |A|^2 = A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 )，定义 ( B = A \times |A|^2 )，完全可以通过B还原出A，推导如下：

1. 计算B的模长关系
   先算B的平方模长：

   |B|² = (A_x*|A|²)² + (A_y*|A|²)² + (A_z*|A|²)²
        = |A|⁴*(A_x²+A_y²+A_z²)
        = |A|⁴*|A|² = |A|⁶
   

   两边开三次方根（模长非负，结果唯一），可得 ( |A|² = |B|^{2/3} )。

2. 还原原向量分量
   从B的定义可知，每个分量满足 ( B_i = A_i * |A|² )，因此：

   A_i = B_i / |A|² = B_i / |B|^{2/3}
   

   这里的i对应x、y、z三个分量，分量的符号完全和B一致，和原向量A的符号保持相同，满足你提到的「分量线性相关」限定，不会出现多解。

3. 特殊情况处理

   • 如果B是零向量，那么原向量A必然也是零向量，直接返回零向量即可。
   • 如果B非零，上述公式直接适用，分母不为零，计算结果唯一。

最终函数形式 #

用伪代码表示的话，函数可以写成：

Vector3 RestoreA(Vector3 B) {
    if (B is zero vector) return Vector3.Zero;
    float bMagnitude = B.magnitude;
    float scale = 1.0f / Math.Pow(bMagnitude, 2.0f/3.0f);
    return B * scale;
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者anonymouscoder