Scipy fsolve判定收敛但Excel单变量求解无解的原因排查

Q1 差异原因 #

1. 收敛判定逻辑不同：
   • fsolve默认停止条件是函数值绝对值小于xtol（默认1e-8），或迭代步长小于ftol（默认1e-8）。如果函数在初始猜测点附近变化极小，哪怕没有零点，fsolve也会误判为满足收敛条件，停止迭代。
   • Excel单变量求解的算法（改进牛顿法变种）会跟踪函数值变化趋势，若多次迭代后函数值无向0靠近的迹象，会直接判定无解析解，不会因微小变化就停止。
2. 函数本身特性：你的目标函数发散，不存在零点。fsolve因初始点附近函数梯度极低误判收敛，而Excel能识别出函数无零点的趋势。

Q2 结果与猜测值一致的原因 #

1. 梯度近似为0：fsolve基于牛顿法，需要计算函数对变量的导数（梯度）确定迭代方向和步长。当rate在0附近时，(1+rate)**x的变化率极低，导致整个npv函数对rate的导数几乎为0。
2. 迭代无法推进：梯度为0时，牛顿法无法计算有效迭代步长，只能返回初始猜测值——它认为当前点的变化已经满足停止条件，无需继续迭代。
3. 验证方式：你可以计算f(guess)和f(guess+1e-6)的差值，会发现变化微乎其微，这直接导致fsolve无法找到更优的迭代点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者0in