计算多边形内角顶点至外切圆周边缘的距离

核心三角函数推导 #

已知多边形内角角度为θ（弧度/角度制均可，计算时统一单位），外切圆半径为r：

• 外切圆的圆心必然在内角的角平分线上——因为圆心到角的两条边距离相等（均等于半径r）。
• 从圆心向角的任意一条边作垂线（长度为r），连接顶点与圆心，形成直角三角形：
  • 直角边：圆半径r
  • 对应锐角：内角的一半，即θ/2
  • 斜边：顶点到圆心的距离d
• 根据三角函数关系 sin(θ/2) = r / d，变形得顶点到圆心的距离：

  d = r / sin(θ/2)
  

• 你需要的「除半径外的额外间距」（即顶点到圆边缘的直线距离）为：

  额外间距 = d - r = r * (1 / sin(θ/2) - 1)
  

验证与注意事项 #

• 若内角为钝角（θ>90°），sin(θ/2) 大于 sin(45°)，额外间距会更小，符合直观逻辑（钝角空间更开阔，圆可更贴近顶点）。
• 计算时注意单位统一：用角度制需切换三角函数的角度模式，或先将θ转换为弧度（弧度 = 角度 × π/180）。
• 顶点坐标可用于验证角平分线方向，确保圆心沿角平分线向外偏移d的位置——只要内角空间足够，此位置就是满足「尽可能贴近内角且圆与两边外切」的最优解，不会与当前角的两条边相交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brendan Sadaka