当自变量与因变量相同时，线性模型为何未返回斜率和R平方？

我有一个数据框，做线性回归分析时，把同一个变量既当因变量又当自变量，结果模型摘要没返回预期的斜率1和R平方值1，只输出了截距。这是为什么？

复现代码及运行结果 #

aa <- data.frame(x = rnorm(10, 100, 5),
                 y = rnorm(10,500, 2))

lm_mod1 <- lm(y~x, data = aa)
summary(lm_mod1) # 正常运行，返回斜率和R平方值
#> 
#> Call:
#> lm(formula = y ~ x, data = aa)
#> 
#> Residuals:
#>     Min      1Q  Median      3Q     Max 
#> -4.0241 -1.3874  0.5264  1.7933  2.2946 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept) 489.7413    14.2402  34.391 5.59e-10 ***
#> x             0.1008     0.1428   0.706      0.5    
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 2.491 on 8 degrees of freedom
#> Multiple R-squared:  0.05862,    Adjusted R-squared:  -0.05905 
#> F-statistic: 0.4982 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.5003

lm_mod2 <- lm(x~x, data = aa)
#> Warning in model.matrix.default(mt, mf, contrasts): the response appeared on the
#> right-hand side and was dropped
#> Warning in model.matrix.default(mt, mf, contrasts): problem with term 1 in
#> model.matrix: no columns are assigned
summary(lm_mod2) # 未返回斜率或R平方值
#> 
#> Call:
#> lm(formula = x ~ x, data = aa)
#> 
#> Residuals:
#>      Min       1Q   Median       3Q      Max 
#> -10.6993  -2.9903  -0.6496   3.2495   8.4294 
#> 
#> Coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept)   99.554      1.838   54.16 1.25e-12 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Residual standard error: 5.813 on 9 degrees of freedom

原因及解决办法 #

• 核心原因：R的lm()函数会自动检测并移除公式中等式两侧的同一变量，避免完全共线性问题——当自变量和因变量完全相同时，二者相关系数为1，会导致设计矩阵不可逆，无法计算回归系数。运行lm(x~x, data=aa)时，函数已明确提示the response appeared on the right-hand side and was dropped（因变量出现在右侧，被移除），此时模型退化为仅拟合截距的lm(x~1, data=aa)，截距值就是x的均值。
• 解决办法：如果要得到预期的斜率1和R²=1，需要用不同变量名指代同一数据，比如创建一个和x完全相同的新变量：

aa$x_copy <- aa$x
lm_mod3 <- lm(x ~ x_copy, data = aa)
summary(lm_mod3)

此时R会将x和x_copy视为不同变量，不会自动移除，模型会拟合出斜率1，R²=1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tassones