求非轴平行矩形内按边比例定义的点坐标的简便解法

最简便方案：直接代入公式计算 #

利用矩形对边平行且相等的几何性质，无需联立参数方程求解，直接套用以下公式即可得到交点坐标。

交点坐标公式 #

设目标交点为 ( M(x, y) )，则：

x = (1 - α - β)x₁ + αx₂ + βx₃ + (α + β - 1)x₄
y = (1 - α - β)y₁ + αy₂ + βy₃ + (α + β - 1)y₄

或者更简洁的等价形式：

x = x₁ + α(x₂ - x₄) + β(x₃ - x₄)
y = y₁ + α(y₂ - y₄) + β(y₃ - y₄)

公式验证示例 #

当 ( α = β = 0.5 ) 时，代入公式得 ( x = 0.5x₂ + 0.5x₃ )，而矩形中心坐标满足 ( x₁ + x₃ = x₂ + x₄ )，因此 ( 0.5x₂ + 0.5x₃ = 0.5(x₁ + x₄) )，和矩形中心坐标完全一致，验证公式正确。

公式推导逻辑（可选了解） #

如果需要理解公式来源，核心步骤如下：

1. 线性插值求分点：用线性插值写出AB、CD、BC、DA边上的分点坐标；
2. 利用矩形性质简化：矩形中 ( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} )、( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} )，即 ( x₂ - x₁ = x₃ - x₄ )、( y₂ - y₁ = y₃ - y₄ )，( x₄ - x₁ = x₃ - x₂ )、( y₄ - y₁ = y₃ - y₂ )；
3. 联立化简得公式：写出两条连线的参数方程，代入矩形性质后联立求解，最终化简得到上述直接计算的公式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DDR