求三维空间中四个球体唯一交点的算法

核心思路：消元转线性方程组求解 #

球体方程是二次形式，但两个球体方程相减会消去平方项，得到线性的根平面方程——这个平面就是两个球体交线所在的平面。由于四个球体仅有唯一交点，前三个球体对应的根平面会交于这唯一的目标点，因此只需解由根平面组成的线性方程组即可。

具体步骤 #

• 步骤1：推导线性方程组
  设四个球的球心分别为$(x_1,y_1,z_1)$、$(x_2,y_2,z_2)$、$(x_3,y_3,z_3)$、$(x_4,y_4,z_4)$，对应半径为$r_1$、$r_2$、$r_3$、$r_4$，目标点为$(x,y,z)$。先写出每个球的方程：

  (x - x_i)² + (y - y_i)² + (z - z_i)² = r_i²  （i=1,2,3,4）
  

  将球2、球3、球4的方程分别减去球1的方程，展开后整理成线性形式（两边可除以2简化）：

  (x₁ - x₂)x + (y₁ - y₂)y + (z₁ - z₂)z = (r₂² - r₁² + x₂² - x₁² + y₂² - y₁² + z₂² - z₁²)/2
  (x₁ - x₃)x + (y₁ - y₃)y + (z₁ - z₃)z = (r₃² - r₁² + x₃² - x₁² + y₃² - y₁² + z₃² - z₁²)/2
  (x₁ - x₄)x + (y₁ - y₄)y + (z₁ - z₄)z = (r₄² - r₁² + x₄² - x₁² + y₄² - y₁² + z₄² - z₁²)/2
  

  最终得到标准三元一次方程组：

  A₁x + B₁y + C₁z = D₁
  A₂x + B₂y + C₂z = D₂
  A₃x + B₃y + C₃z = D₃
  

• 步骤2：解线性方程组
  因题目保证唯一交点，该方程组的系数矩阵行列式不为0，存在唯一解，可选用两种方法：

  • 高斯消元法：通过行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，逐步回代得到$x$、$y$、$z$的值，手动计算或编程实现都很高效。
  • 克莱姆法则：计算系数矩阵的行列式，再分别替换对应列得到三个衍生行列式，适合手动计算小规模方程组，结合整数坐标的特性可快速验证结果。

• 步骤3：验证（可选）
  把求出的$(x,y,z)$代入任意一个球体方程确认等式成立即可——由于题目明确唯一交点，满足前三个方程的解必然符合第四个方程。

注意事项 #

所有坐标均为整数，计算过程可全程用整数运算，避免浮点误差，直接得到整数形式的目标点坐标。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Serhii Chernikov