如何用Matlab/Mathematica/Python求解含参四次多项式的根？

给定四次多项式方程：
$$x^4 + 4bx^3 + (a^2 + 4b^2 + l^2)x2 + 2(b(a^2+l2)-ml^2)x + a^2l2 = 0$$

对于任意系数的情况，可通过费拉里法（通用四次方程解法）逐步推导根式解，步骤如下：

1. 消去三次项 #

做变量替换 $x = z - b$，将原方程转化为不含三次项的简化四次方程：
$$z^4 + (a^2 + l^2 - 2b^2)z2 - 2ml^2 z + (b^4 - a^2b2 - b^2l2 + 2bml^2 + a^2l2) = 0$$

2. 构造完全平方形式 #

将简化后的方程改写为：
$$(z^2 + t)^2 = (t - (a^2 + l^2 - 2b^2))z2 + 2ml^2 z + (t^2 - (b^4 - a^2b2 - b^2l2 + 2bml^2 + a^2l2))$$
其中 $t$ 为待求参数，目的是让等式右侧成为完全平方式。

3. 求解三次预解方程 #

对于右侧的二次式 $Az^2 + Bz + C$，要成为完全平方式需满足判别式为0：$B^2 - 4AC = 0$。代入对应系数后，得到关于 $t$ 的三次方程：
$$m^2l4 = (t - a^2 - l^2 + 2b^2)(t2 - b^4 + a^2b2 + b^2l2 - 2bml^2 - a^2l2)$$
解此三次方程，得到参数 $t$ 的根（实根或复根均可）。

4. 分解为二次方程求解 #

将求得的 $t$ 代入步骤2的等式，右侧可写成 $(kz + n)^2$ 的形式，开平方后得到两个二次方程：
$$z^2 + t = kz + n$$
$$z^2 + t = -kz -n$$
分别求解这两个二次方程，得到 $z$ 的所有根。

5. 还原到原变量 #

将 $z$ 的根代入替换式 $x = z - b$，即可得到原四次方程的所有根。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aditya Das