能否在np.fft中传入自定义频率轴？及相关FFT技术问询

给定M点网格上的函数f，需计算N点网格上的类傅里叶变换值（满足M < N），核心表达式为：

F[n] = np.sum( np.exp(-2j * np.pi * k * n / N) * f[k])

其中k = np.arange(M)，n = np.arange(N)。当前通过构造N×M矩阵与f相乘的实现方式，在矩阵规模较大时内存与计算开销极高，希望借助Numpy/Scipy的FFT工具优化，同时需了解如何用FFT计算单个频率点的变换值。

一、转化为FFT可处理的形式 #

你的需求本质是非均匀离散傅里叶变换（NUDFT），可通过两种方式用标准FFT工具实现：

方法1：补零FFT+频率插值（近似解） #

当N远大于M时，可通过补零将f扩展到N长度，再利用标准FFT结合插值得到目标结果：

import numpy as np

# 1. 将f补零至N长度
f_pad = np.zeros(N, dtype=np.complex128)
f_pad[:M] = f

# 2. 计算标准FFT
F_fft = np.fft.fft(f_pad)

# 3. 构造频率轴并插值
fft_freqs = np.fft.fftfreq(N)  # 标准FFT的频率点
target_freqs = np.arange(N) / N  # 目标频率点
F = np.interp(target_freqs, fft_freqs, F_fft)

注：该方法为近似解，N与M差距越大，精度越高。

方法2：Scipy非均匀DFT工具（精确解） #

Scipy提供了直接计算NUDFT的工具，无需构造大矩阵，效率远高于矩阵乘法：

import numpy as np
from scipy.signal import nudft

# 构造目标频率点
omega = np.arange(N) / N
# 计算精确非均匀离散傅里叶变换
F = nudft(f, omega, M)

二、计算单个频率点的变换值 #

若仅需计算某一特定n对应的F[n]，直接求和是最高效的方式，无需调用完整FFT：

def single_freq_transform(f, target_n, N, M):
    k = np.arange(M)
    exp_term = np.exp(-2j * np.pi * k * target_n / N)
    return np.sum(f * exp_term)

若非要基于FFT框架实现，反而会增加复杂度，不推荐。

三、无FFT时的内存优化 #

如果无法使用FFT工具，可通过Numpy广播机制替代矩阵乘法，将内存开销从O(N*M)降至O(M)：

k = np.arange(M)
n = np.arange(N)
# 用广播逐行计算，避免生成完整N×M矩阵
exp_term = np.exp(-2j * np.pi * n[:, None] * k / N)
F = np.sum(exp_term * f, axis=1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Md Elious Ali Mondal