级联数字滤波：如何合并各滤波器的传递函数系数？

理论上的正确操作 #

当两个滤波器级联时，总传递函数是两个滤波器传递函数的乘积。假设：

• Butterworth滤波器的传递函数为 $H_1(z) = \frac{b_1(z)}{a_1(z)}$，其中 $b_1$ 是分子系数，$a_1$ 是分母系数
• Chebyshev II滤波器的传递函数为 $H_2(z) = \frac{b_2(z)}{a_2(z)}$，其中 $b_2$ 是分子系数，$a_2$ 是分母系数

那么级联后的总传递函数为：
$$H(z) = H_1(z) \times H_2(z) = \frac{b_1(z) \times b_2(z)}{a_1(z) \times a_2(z)}$$

这里的多项式乘法，对应系数序列的卷积操作——因为两个多项式相乘的结果系数，本质就是两个系数序列的卷积。所以正确的合并方式是：

• 总分子系数：conv(b1, b2)
• 总分母系数：conv(a1, a2)

关于“相乘和卷积结果相似”的解释 #

你看到的幅度响应相似只是巧合，原因可能是：

• 滤波器阶数较低，直接系数相乘（错误操作）的结果在可视化精度下和卷积结果差异不明显
• 幅度响应的可视化范围或分辨率不足以展示两种操作的细微差异

举个简单例子：如果b1是[1 2]，b2是[3 4]，卷积结果是[3 10 8]（对应多项式3+10z+8z²），而直接相乘得到[3 8]（对应3+8z），两者的传递函数完全不同，只是低阶小范围的幅度响应可能看起来接近，但理论上是错误的。

Matlab实操示例 #

假设已经通过butter()和cheby2()得到了两组系数b1,a1和b2,a2，合并代码如下：

% 合并级联滤波器的系数
b_total = conv(b1, b2);
a_total = conv(a1, a2);

% 验证幅度响应
freqz(b_total, a_total);

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tehgankerer