在Google Sheets中基于均值和第25百分位数参数化对数正态分布

核心原理 #

对数正态分布的参数化依赖其与正态分布的转换关系：若随机变量(X)服从对数正态分布(LogNormal(\mu, \sigma^2))，则(\ln(X))服从均值为(\mu)、标准差为(\sigma)的正态分布。我们需要通过已知的原始分布均值（10）和25百分位数（8），反推(\mu)和(\sigma)两个参数。

步骤1：推导参数计算公式 #

基于两个关键条件联立方程：

1. 原始分布均值：(\exp(\mu + \sigma^2/2) = 10) → (\mu + \sigma^2/2 = \ln(10))
2. 25百分位数：(\ln(8) = \mu + z_{0.25}\sigma)，其中(z_{0.25})是标准正态分布的25分位数（对应公式NORM.S.INV(0.25)，约为-0.6745）

通过代数运算得到参数的精确求解公式：

• 计算(\sigma)（取正根）：

  σ = (-z_{0.25} + sqrt(z_{0.25}^2 + 2*(\ln(10)-\ln(8))))
  

• 计算(\mu)：

  μ = ln(8) - z_{0.25}*σ
  

步骤2：在Google Sheets中计算参数 #

在空白单元格（例如B1）输入公式计算(\sigma)：

=(-NORM.S.INV(0.25) + SQRT(NORM.S.INV(0.25)^2 + 2*(LN(10)-LN(8))))

在相邻单元格（例如B2）输入公式计算(\mu)：

=LN(8) - NORM.S.INV(0.25)*B1

步骤3：生成1000个对数正态样本 #

在F2单元格输入抽样公式，下拉至F1001即可生成1000个符合要求的样本：

=EXP(NORM.INV(RAND(), $B$2, $B$1))

验证结果 #

可通过以下公式验证样本统计量是否符合预期：

• 样本均值：=AVERAGE(F2:F1001)，结果应接近10
• 25百分位数：=PERCENTILE.EXC(F2:F1001, 0.25)，结果应接近8

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adotdems