S域带通滤波器无传递函数转换为T采样域方程方法咨询

核心思路：从连续时域微分方程出发，用离散差分近似替换微分算子 #

S域本质是连续微分方程的算子表示，不用传递函数的话，直接基于连续时域微分方程，通过离散采样后的差分近似完成转换。

对于你的二阶带通滤波器，先明确连续域的标准微分方程形式：
$$\frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 2\alpha \frac{dy(t)}{dt} + \omega_0^2 y(t) = \beta \frac{dx(t)}{dt}$$
其中参数由你的截止频率计算：

• 中心角频率 $\omega_0 = \sqrt{\omega_l \cdot \omega_h} = \sqrt{78.075 \times 312.3} \approx 156.15$ rad/s
• 衰减系数 $\alpha = \frac{\omega_h - \omega_l}{2} = \frac{312.3 - 78.075}{2} = 117.1125$ rad/s
• 增益系数 $\beta = 2\alpha = 234.225$（保证中心频率处增益为1）

设采样周期为$T$，离散化后$y[n] = y(nT)$、$x[n] = x(nT)$，用以下两种常用方法转换：

方法1：后向差分法（数值稳定性好，适合低采样率场景） #

用后向差分近似连续微分：

• $\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y[n] - y[n-1]}{T}$
• $\frac{d^2 y(t)}{dt^2} \approx \frac{y[n] - 2y[n-1] + y[n-2]}{T^2}$

代入连续微分方程并整理，得到离散递推方程：
$$y[n] = \frac{ \beta T(x[n]-x[n-1]) + (2 + 2\alpha T)y[n-1] - y[n-2] }{1 + 2\alpha T + \omega_0^2 T^2}$$

方法2：双线性变换法（避免频率混叠，适合宽频场景） #

基于梯形积分的近似，对应微分算子替换为$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$，代入S域算子方程后整理，得到离散递推方程：
$$y[n] = \frac{ \frac{2\beta}{T}(x[n] - x[n-2]) - (2\omega_0^2 - \frac{8}{T^2})y[n-1] - (\omega_0^2 + \frac{4}{T^2} - \frac{4\alpha}{T})y[n-2] }{ \omega_0^2 + \frac{4}{T^2} + \frac{4\alpha}{T} }$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gg Yu