求矩形金字塔内uniform sampling (by volume)实现方法（已知相机内参）

核心思路 #

体积均匀采样的本质是让采样点的概率密度与微元体积成正比，即每个微小体积单元被采样到的概率相同。结合相机内参，可将问题转化为相机坐标系下的参数化采样，通过逆变换采样生成符合要求的随机点。

步骤1：结合相机内参定义矩形金字塔范围 #

相机内参包含焦距f、图像宽W、高H、主点坐标(cx, cy)，近平面深度z_near，远平面深度z_far。在相机坐标系下：

• 任意深度z（满足z_near ≤ z ≤ z_far）对应的投影面上，x方向范围为[z*(0 - cx)/f, z*(W - cx)/f]，y方向范围为[z*(0 - cy)/f, z*(H - cy)/f]
• 若主点在图像中心（cx=W/2，cy=H/2），则x、y范围简化为[-z*W/(2f), z*W/(2f)]和[-z*H/(2f), z*H/(2f)]

步骤2：体积均匀采样的具体实现 #

采用分层采样：先采样深度z，再采样对应深度下的x、y坐标，确保联合概率密度符合均匀体积分布：

1. 生成3个[0,1]区间的均匀随机数u1, u2, u3
2. 采样深度z：
   由于体积随z³增长，深度的累积分布函数为CDF(z) = (z³ - z_near³)/(z_far³ - z_near³)，逆变换得到：

   z = (z_near³ + u1*(z_far³ - z_near³))^(1/3)
   

3. 采样x、y坐标：
   • 先采样图像平面上的像素坐标u = W*u2，v = H*u3（均匀分布在图像尺寸范围内）
   • 通过透视投影关系转换到相机坐标系：

     X = z*(u - cx)/f
     Y = z*(v - cy)/f
     

4. 最终得到的(X, Y, z)即为矩形金字塔内按体积均匀采样的点。

步骤3：底面（截面）宽度/长度的概率分布 #

以x方向的截面宽度w=2|X|为例，其概率分布推导如下：

1. X的边缘概率密度：
   分两种情况：
   • 当|X| ≤ z_near*(W - 2cx)/(2f)（主点偏移时的近平面X范围），X的概率密度为常数：

     p(X) = 3f*(z_far + z_near)/(2W*(z_far² + z_far*z_near + z_near²))
     

   • 当z_near*(W - 2cx)/(2f) < |X| ≤ z_far*(W - 2cx)/(2f)，X的概率密度随X²递减：

     p(X) = 3f/(2W*(z_far³ - z_near³)) * (z_far² - (f²X²)/( (u - cx)² ) )
     

     （注：若主点在中心，可简化为p(X) = 3f/(2W*(z_far³ - z_near³))*(z_far² - 4f²X²/W²)）
2. 宽度w的概率分布：
   由于w=2|X|，通过变量替换可得w的概率密度与X=w/2处的密度相等，即p(w) = p(X=w/2)，分布趋势为：在近平面宽度范围内为常数，超出后随w²递减。

y方向的长度分布与x方向完全类似，只需将公式中的W替换为H，cx替换为cy即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marianne Sheridan