三水壶问题（容量12/8/5）：如何判断目标状态可达性？

针对容量为12、8、5，总盛水量固定为12的三个水壶系统，判断起始状态到目标状态是否可达，可按以下步骤依次验证：

1. 基础合法性校验 #

首先确认两个状态均为合法状态：

• 每个水壶的水量非负，且不超过自身容量（即起始状态$(x_1,y_1,z_1)$满足$0≤x_1≤12, 0≤y_1≤8, 0≤z_1≤5$；目标状态同理）
• 两个状态的总水量均为12（即$x+y+z=12$）
  不满足以上任意一条，直接判定不可达。

2. 奇偶性一致性校验 #

所有允许的操作（倒满、转移）都不会改变系统中「奇数水量水壶的数量的奇偶性」：

• 若起始状态中奇数水量的水壶数量为偶数，则目标状态中奇数水量的水壶数量也必须为偶数；
• 若起始状态中奇数水量的水壶数量为奇数，则目标状态中奇数水量的水壶数量也必须为奇数；
  不满足此规则，直接判定不可达。

3. 数论约束校验 #

三个水壶容量的最大公约数$\gcd(12,8,5)=1$，根据水壶问题的数论本质，只要目标状态的每个水量都是该公约数的倍数（此处因公约数为1，所有合法整数水量都满足），结合总水量固定的条件，该约束对所有合法状态均成立，无需额外验证。

4. 具体容量的边界约束 #

结合三个壶的具体容量，补充约束：
目标状态中，壶2（容量8）的水量$y$需满足$y ≥ \max(0, 12 - x -5)$且$y ≤ \min(8, 12 -x)$（其中$x$为壶1的水量），同时壶3（容量5）的水量$z=12-x-y$需在$0≤z≤5$范围内（此条已包含在基础合法性校验中）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Awe Kumar Jha