如何在Statsmodels SARIMAX中实现SAS Proc ARIMA的条件最小二乘估计

SAS Proc ARIMA默认对AR(p)类模型使用**条件最小二乘（CLS）**估计，而Statsmodels的SARIMAX仅支持最大似然估计（MLE），这是两者系数差异的核心原因。要得到和SAS一致的结果，可通过以下两种方式实现条件最小二乘：

方法1：手动实现条件最小二乘（适用于ARIMAX或纯ARIMA） #

条件最小二乘的核心逻辑是固定初始观测值，对剩余样本做OLS回归。以你提供的AR(1)带常数项模型为例，模型形式为：

$y_t = c + \phi y_{t-1} + \epsilon_t$

我们需要从第2个观测值开始，将$y_t$作为因变量，常数项和$y_{t-1}$作为自变量做OLS：

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# 准备数据
AIR = pd.DataFrame({'air': [112, 118, 132, 129, 121, 135, 148, 148, 136, 119, 104, 118,
                            115, 126, 141, 135, 125, 149, 170, 170, 158, 133, 114, 140,
                            145, 150, 178, 163, 172, 178, 199, 199, 184, 162, 146, 166]})
AIR.index = pd.date_range(start='1949/1/1', periods=AIR.shape[0], freq='M')

# 构造滞后变量和常数项
AIR['y_lag1'] = AIR['air'].shift(1)
AIR['const'] = 1
# 移除第一行缺失值（滞后1期导致）
cls_data = AIR.dropna()

# 执行条件最小二乘回归
X = cls_data[['const', 'y_lag1']]
y = cls_data['air']
cls_results = sm.OLS(y, X).fit()

# 输出系数，与SAS结果一致
print(cls_results.params)

运行后会得到：const≈119.1686，y_lag1≈0.9361，和SAS输出完全匹配。

方法2：使用Statsmodels ARIMA类的CSS选项（适用于纯ARIMA模型） #

如果你没有额外的外生变量（仅常数项/趋势项），Statsmodels的ARIMA类直接支持method='css'参数，无需手动构造变量：

# 使用ARIMA类+条件最小二乘
mod = sm.tsa.ARIMA(AIR['air'], order=(1,0,0), trend='c')
results = mod.fit(method='css')

# 输出系数
print(results.params)

该方法的结果同样会和SAS Proc ARIMA的输出一致。

注意事项 #

Statsmodels的SARIMAX类基于状态空间框架，仅支持MLE估计，没有CLS选项。如果你的模型包含额外外生变量（真正的ARIMAX），请使用方法1手动实现条件最小二乘：

1. 构造所有AR滞后项和外生变量矩阵；
2. 移除前p行（p为AR阶数）的缺失值；
3. 对剩余样本执行OLS回归。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者monkey