如何设置卡尔曼滤波方程，基于两类时序数据估计餐厅实际堂食客流量？

1. 核心状态定义 #

定义状态变量：$x_k$ 为第 $k$ 天的实际堂食顾客数量（这是我们需要估计的目标值）。

2. 状态转移方程 #

假设每日堂食顾客数的变化符合随机游走模型（适配无明显长期趋势的日常客流）：

x_k = x_{k-1} + w_k

• $w_k$ 是过程噪声，服从零均值高斯分布 $w_k \sim \mathcal{N}(0, Q)$，其中 $Q$ 是过程噪声的方差，用于刻画堂食顾客数每日的随机波动程度。

3. 观测方程 #

基于两类观测数据构建观测向量 $z_k = \begin{bmatrix} z_{1,k} \ z_{2,k} \end{bmatrix}$：

• $z_{1,k}$：第 $k$ 天进入餐厅的总人数（含员工、外卖顾客）
• $z_{2,k}$：第 $k$ 天堂食主菜销售总量

对应的观测方程为：

z_{1,k} = x_k + v_{1,k}
z_{2,k} = a \cdot x_k + v_{2,k}

写成矩阵形式：

z_k = H \cdot x_k + v_k

其中：

• $H = \begin{bmatrix} 1 \ a \end{bmatrix}$：观测矩阵，$a$ 是平均每堂食顾客的主菜点单量（可通过历史数据统计均值得到，比如过去30天堂食顾客数与主菜销量的比值）
• $v_k = \begin{bmatrix} v_{1,k} \ v_{2,k} \end{bmatrix}$：观测噪声，服从零均值高斯分布 $v_k \sim \mathcal{N}(0, R)$，$R$ 是2×2对角协方差矩阵：

  R = \begin{bmatrix} R_1 & 0 \\ 0 & R_2 \end{bmatrix}
  

  • $R_1$：进入总人数的观测噪声方差（即员工+外卖顾客的每日数量波动方差）
  • $R_2$：主菜销量的观测噪声方差（即实际销量与 $a \cdot x_k$ 的差值波动方差）

4. 卡尔曼滤波迭代步骤 #

初始化

• 初始状态估计 $\hat{x}_{0|0}$：若有历史堂食数据，取均值；若无，可用「进入总人数减去员工+外卖日均数」或「主菜销量除以 $a$」作为初始值
• 初始协方差 $P_{0|0}$：设为合理的初始波动值，比如历史客流数据的方差（无数据时可设为较大值，如100）

预测步骤（先验估计）

\hat{x}_{k|k-1} = \hat{x}_{k-1|k-1}
P_{k|k-1} = P_{k-1|k-1} + Q

• $\hat{x}_{k|k-1}$：基于第 $k-1$ 天的估计，对第 $k$ 天的先验状态估计
• $P_{k|k-1}$：先验估计的协方差

更新步骤（后验估计）

1. 计算卡尔曼增益：

K_k = P_{k|k-1} \cdot H^T \cdot (H \cdot P_{k|k-1} \cdot H^T + R)^{-1}

2. 更新状态估计：

\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k \cdot (z_k - H \cdot \hat{x}_{k|k-1})

3. 更新协方差：

P_{k|k} = (I - K_k \cdot H) \cdot P_{k|k-1}

• $I$ 为1×1单位矩阵（因为状态是一维的）
• $\hat{x}_{k|k}$：第 $k$ 天堂食顾客数的最优后验估计值

5. 参数确定建议 #

• $Q$：统计历史堂食顾客数的日波动方差，若无数据，可根据经验设置（比如日均客流的5%-10%的平方）
• $R_1$：统计员工+外卖顾客的日数量波动方差，比如连续一周记录员工数和外卖到店人数，计算其方差
• $R_2$：用历史堂食顾客数和主菜销量数据，计算 $z_{2,k} - a \cdot x_k$ 的方差（若没有真实 $x_k$，可先用初期估计值替代迭代）
• $a$：取历史堂食顾客数与对应主菜销量的比值的均值，比如过去30天的平均每客主菜点单量

内容的提问来源于stack exchange，提问作者starklikos