计算3D振荡物体渐进调整周期时长的步长增量

问题明确 #

已知三个变量：

• 初始振荡周期时长 s₀（单位：ms）
• 目标振荡周期时长 sₙ（单位：ms）
• 总时长 T（单位：ms，需统一单位，如秒转毫秒）

要求每次振荡开始时给当前周期加一个固定因子d，使所有振荡的总时长恰好等于T，且最终周期达到sₙ，周期变化严格线性。

数学推导 #

这是等差数列求和问题：每次的周期构成首项为s₀、末项为sₙ、公差为d的等差数列，所有项的和等于总时长T。

1. 等差数列求和公式：

   T = (s₀ + sₙ) * k / 2
   

   其中k是振荡总次数（从初始到最后一次共k次），由此解出总次数：

   k = 2*T / (s₀ + sₙ)
   

2. 等差数列末项公式：

   sₙ = s₀ + (k - 1)*d
   

   从第一次到第k次，共加了k-1次因子d。将k代入后化简，得到因子d的最终计算公式：

   d = (sₙ² - s₀²) / (2*T - s₀ - sₙ)
   

示例验证 #

用你给出的示例数据：s₀=100，sₙ=400，T=1000
代入公式：

d = (400² - 100²) / (2*1000 - 100 - 400) = (160000 - 10000) / (2000 - 500) = 150000 / 1500 = 100

结果与示例中的因子完全一致，验证成立。

实际操作步骤 #

1. 统一所有时间单位（如将总时长秒转换为毫秒）
2. 代入公式计算固定因子d
3. 运行时，每次振荡开始时给当前周期加上d，直到周期达到目标值（此时总时长也会恰好耗尽）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aisaax