如何用物理公式建模从BH视角重投影HiDef黑洞光漩涡至恒星视角
基础设定
采用史瓦西坐标系$(r, \theta, \phi)$：黑洞位于原点，吸积盘处于赤道面$\theta=\pi/2$，恒星位置为$\vec{R}_s=(r_s, \theta_s, \phi_s)$，观测者位于黑洞附近（避开视界，取$r_0\approx1.1r_s$，$r_s=2GM/c^2$为史瓦西半径），视线指向恒星方向$\vec{n}_s=\vec{R}_s/|\vec{R}_s|$。
建模核心是逆光线追踪：对观测者视角的每个像素，反向追踪光线至吸积盘，将HiDef光漩涡图像中对应吸积盘点的亮度映射到该像素。
核心物理公式与轨迹计算
由于不考虑黑洞自转，光子运动遵循史瓦西度规的零测地线方程，关键守恒量：
- 角动量分量 $L_z = r^2 \sin^2\theta \frac{d\phi}{d\lambda}$（常数，$\lambda$为仿射参数）
- 卡特常数 $Q = (r^2 \frac{d\theta}{d\lambda})^2 + (L_z \cot\theta)^2$（常数）
- 能量 $E = (1 - \frac{r_s}{r}) c \frac{dt}{d\lambda}$（常数）
赤道面简化模型（优先实现）
假设吸积盘和恒星均在赤道面$\theta=\pi/2$，此时$Q=L_z^2$，定义冲击参数$b=L_z/E$，光线轨迹的径向-角向关系简化为：
$$\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{r4}{b2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) - r^2$$
初始条件计算
观测者局部静止系中，视线方向单位向量为$\vec{n}=(\sin\theta_0\cos\phi_0, \sin\theta_0\sin\phi_0, \cos\theta_0)$，则：
- $L_z = \frac{E r_0 \sin\theta_0 n_\phi}{\sqrt{1 - r_s/r_0}}$
- 冲击参数$b = \frac{r_0 \sin\theta_0 n_\phi}{\sqrt{1 - r_s/r_0}}$
- 初始径向导数$\frac{dr}{d\phi}\bigg|{r=r_0} = \frac{r_0^2 n_r}{n\phi}$
轨迹积分与交点判断
用Runge-Kutta等数值方法积分上述微分方程，将光线从$r=r_0$向外传播，直到与吸积盘边界（内边缘$r=3r_s$、外边缘$r=10r_s$）相交，记录交点的$\phi_d$值。若$b < \frac{3\sqrt{3}}{2}r_s$，光线会落入黑洞视界，对应像素为黑色。
通用非赤道面模型
若吸积盘或恒星不在赤道面，需同时积分径向、极角、角向的耦合微分方程：
- 极角方程：
$$\left(\frac{d\theta}{d\phi}\right)^2 = \frac{Q}{L_z^2} - \cot^2\theta$$ - 径向方程：
$$\left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{r4}{L_z2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(\frac{E2}{c2}\right) - r^2 \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \left( \frac{Q}{L_z^2} - \cot^2\theta \right)^{-1}$$
初始极角导数：$\frac{d\theta}{d\phi}\bigg|{r=r_0} = \frac{r_0^2 n\theta}{n_\phi \sin^2\theta_0}$，其余步骤与赤道面模型一致。
重投影映射流程
- 生成黑洞位置观测者的天球像素网格（用$\theta, \phi$覆盖恒星视角附近区域）。
- 对每个像素，计算对应的守恒量$L_z, Q$（或$b$）和初始轨迹导数。
- 数值积分光线轨迹，找到与吸积盘的交点$(r_d, \theta_d, \phi_d)$。
- 从HiDef光漩涡图像中提取交点位置的亮度值，赋值给当前像素。
- 遍历所有像素，生成重投影后的图像。
脉冲星扩展应用
对于无自转脉冲星，建模方法完全通用：仅需替换史瓦西半径$r_s=2GM/c^2$中的$M$为脉冲星质量（通常1-2倍太阳质量）。由于脉冲星$r_s$远小于黑洞，光线偏转效应更弱，但逆追踪逻辑和公式完全适用。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者MiKor
