满足x₀=0、x₁₀=4的步长±1的11项序列计数问题

已知 ( x_0 = 0 )，对于 ( 1 \leq i \leq 10 )，序列满足 ( |x_i - x_{i-1}| = 1 )，且 ( x_{10} = 4 )，求该序列的可能数量。用户已通过Python暴力求解得到结果为120，现需简洁的数学解法。

核心思路：组合计数 + 位移方程 #

1. 定义步数变量：设10步中有 ( a ) 步为 ( +1 )（向右），( b ) 步为 ( -1 )（向左）。根据总步数和最终位移，列出两个方程：
   • 总步数：( a + b = 10 )
   • 最终位移：( a - b = 4 )
2. 求解步数：联立方程解得 ( a = 7 )，( b = 3 )，即需要7步向右、3步向左。
3. 计算序列数量：问题等价于从10步中选择7步走 ( +1 )（剩余3步自动为 ( -1 )），不同的选择对应不同序列。根据组合数公式，数量为：
   [
   \binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{7! \times 3!} = 120
   ]

补充说明 #

如果题目隐含序列中所有 ( x_i ) 非负（即不能走到负数位置），则需要用反射原理结合卡特兰数修正，但本题无此约束，直接用组合数即可得到结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jacob Holmes