计算机图形学：绕直线y=-4x-3旋转的齐次变换矩阵及顶点求解
核心思路
绕任意直线旋转的本质是通过坐标系变换，将问题转化为绕原点坐标轴的旋转，再逆变换回原坐标系，步骤分为：平移直线过原点 → 旋转直线与坐标轴重合 → 执行目标旋转 → 逆旋转坐标系 → 逆平移回原坐标系。
具体步骤（以直线(y=-4x-3)、顺时针旋转45°为例）
1. 确定直线上的基准点
取直线上任意一点(P_0(x_0,y_0))，满足(y_0=-4x_0-3)，比如取(x_0=-1)，则(y_0=1)（代入得：(-4*(-1)-3=1)）。
2. 构造各变换的齐次矩阵
所有变换均用3×3齐次矩阵表示（兼容2D点的((x,y,1))齐次坐标）：
① 平移变换(T_1)：将原点移至(P_0)
作用：把原坐标系的点((x,y))平移到以(P_0)为原点的新坐标系，公式为((x',y')=(x - x_0, y - y_0))
矩阵：
[1 0 -x₀] [1 0 1] [0 1 -y₀] = [0 1 -1] [0 0 1 ] [0 0 1]
② 旋转变换(R_1)：将直线旋转至与x轴重合
直线(y=-4x)的斜率为-4，与x轴夹角(\theta)满足(\tan\theta=-4)，因此(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{17}})，(\sin\theta=-\frac{4}{\sqrt{17}})。
(R_1)是将坐标系顺时针旋转(\theta)（等价于逆时针旋转(-\theta)），矩阵：
[cosθ sinθ 0] [1/√17 -4/√17 0] [-sinθ cosθ 0] = [4/√17 1/√17 0] [0 0 1] [0 0 1]
③ 目标旋转变换(R_2)：绕x轴顺时针旋转45°
顺时针旋转(\alpha=45°)的矩阵：
[cosα sinα 0] [√2/2 √2/2 0] [-sinα cosα 0] = [-√2/2 √2/2 0] [0 0 1] [0 0 1]
④ 逆旋转变换(R_1^T)：回到原倾斜坐标系
(R_1)的逆矩阵等于其转置，矩阵：
[cosθ -sinθ 0] [1/√17 4/√17 0] [sinθ cosθ 0] = [-4/√17 1/√17 0] [0 0 1] [0 0 1]
⑤ 逆平移变换(T_2)：回到原坐标系
作用：将平移后的点移回原坐标系，公式为((x',y')=(x + x_0, y + y_0))
矩阵：
[1 0 x₀] [1 0 -1] [0 1 y₀] = [0 1 1] [0 0 1 ] [0 0 1]
3. 组合总变换矩阵
齐次变换的顺序是从右到左（先执行最右侧的变换），总矩阵(M)为：M = T₂ × R₁ᵀ × R₂ × R₁ × T₁
将各矩阵代入相乘后，可得到最终的3×3齐次变换矩阵。
4. 计算变换后的顶点坐标
将每个顶点的齐次坐标（如(A(50,20))→((50,20,1))）与(M)相乘，得到变换后的齐次坐标，再转换为笛卡尔坐标（取前两个分量）。
简化公式（直接计算）
绕直线(ax+by+c=0)旋转(\alpha)角度（顺时针为负，逆时针为正），变换后的点((x',y'))可直接用以下公式计算：
k = (a*x + b*y + c) / (a² + b²) x' = x*cosα - y*sinα + k*a*(1 - cosα) + k*b*sinα y' = x*sinα + y*cosα + k*b*(1 - cosα) - k*a*sinα
代入本题参数：(a=4, b=1, c=3, \alpha=-45°)（(\cos\alpha=\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2})），即可快速算出A、B、C三点的变换后坐标。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者P_99
